《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册华师大版》

8. 如图,现测得AB = AD = 26 m,BC = 16 m,CD = 12 m,且BD = 20 m.
(1)试说明：∠BCD = 90°；
(2)求四边形展区(阴影部分)的面积.

答案：
解:
(1)
∵在△BCD 中,BC=16 m,CD=12 m,BD=20 m,
∴BC²+CD²=16²+12²=400,BD²=20²=400,
∴BC²+CD²=BD²,
∴△BCD 是直角三角形,且∠BCD=90°.
(2)如图,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,
　　　　　　　
则∠AEB=90°.
∵AB=AD,
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=10 m.
在 Rt△ABE 中,AB=26 m,
∴AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{26^2-10^2}$=24(m),
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$BD·AE=$\frac{1}{2}$×20×24=240(m²).
∵S△BCD=$\frac{1}{2}$BC·CD=$\frac{1}{2}$×16×12=96(m²),
∴S阴影部分=S△ABD-S△BCD=240-96=144(m²).

9. (几何直观、推理能力)定义：在△ABC中,若BC = a,AC = b,AB = c,a、b、c满足$ac + a^2 = b^2,$则称这个三角形为“类勾股三角形”. 请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,AB = BC,AC＞AB,求∠A的度数；
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B = 2∠A,且∠C＞∠A,求证：△ABC为“类勾股三角形”. 小明同学想到可以在AB上找一点D使得AD = CD,再作CE⊥BD,请你帮助小明完成证明过程.

答案：
解:
(1)
∵AB=BC,AC＞AB,
∴a=c,b＞c.
∵△ABC 是"类勾股三角形",
∴ac+a²=b²,
∴c²+a²=b²,
∴△ABC 是等腰直角三角形,
∴∠A=45°.
(2)如图,在 AB 上找一点 D,使得 AD=CD,再作 CE⊥BD.
　　　　　
∵AD=CD,
∴∠A=∠ACD,
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A.
∵∠B=2∠A,
∴∠CDB=∠B,
∴CD=CB=a,
∴AD=CD=a,
∴DB=AB-AD=c-a.
∵CE⊥AB,
∴DE=BE=$\frac{1}{2}$(c-a),
∴AE=AD+DE=a+$\frac{1}{2}$(c-a)=$\frac{1}{2}$(c+a).
在 Rt△ACE 中,CE²=AC²-AE²=b²-[$\frac{1}{2}$(c+a)]²,
在 Rt△BCE 中,CE²=BC²-BE²=a²-[$\frac{1}{2}$(c-a)]²,
∴b²-[$\frac{1}{2}$(c+a)]²=a²-[$\frac{1}{2}$(c-a)]²,
∴b²=ac+a²,
∴△ABC 是"类勾股三角形".