《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册华师大版》

7. 计算:
(1) $(3x + 4y)^2 = $$9x^{2}+24xy+16y^{2}$;
(2) $(5 + \frac{1}{2}m)^2 = $$25+5m+\frac{1}{4}m^{2}$;
(3) $(\frac{2}{3}a + b^2)^2 = $$\frac{4}{9}a^{2}+\frac{4}{3}ab^{2}+b^{4}$.

答案：
(1)$9x^{2}+24xy+16y^{2}$
(2)$25+5m+\frac{1}{4}m^{2}$
(3)$\frac{4}{9}a^{2}+\frac{4}{3}ab^{2}+b^{4}$

8. (1)已知:$(x + y)^2 = 9$,$(x - y)^2 = 4$,则$xy = $$\frac{5}{4}$;
(2) 整式$A与m^2 - 2mn + n^2的和是(m + n)^2$,则$A = $$4mn$.

答案：
(1)$\frac{5}{4}$
(2)$4mn$

9. 已知矩形的长为$a$,宽为$b$,它的周长为$24$,面积为$32$.
(1)求$ab(a + b)$的值;
(2)求$a^2 + b^2$的值.

答案： 解:由题意得,$a+b=\frac{24}{2}=12$,$ab=32$.
(1)$ab(a+b)$
$=32×12$
$=384$.
(2)$a^{2}+b^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}-2ab$
$=(a+b)^{2}-2ab$
$=12^{2}-2×32$
$=144-64$
$=80$.

10. (几何直观、推理能力)数学课上,我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式,如图1可以解释完全平方公式:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
(1)如图2(图中各小长方形大小均相等),请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(不化简):
方法1:$S_{阴影} = $$4ab$;
方法2:$S_{阴影} = $$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$.
(2)由(1)中两种不同的方法,你能得到怎样的等式?
$\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})=4ab$,$\therefore (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$
(3)①已知$(m + n)^2 = 16$,$mn = 3$,请利用(2)中的等式,求$m - n$的值.
②已知$(2m + n)^2 = 13$,$(2m - n)^2 = 5$,请利用(2)中的等式,求$mn$的值.

①由(2),得$(m+n)^{2}-(m-n)^{2}=4mn$.$\because (m+n)^{2}=16$,$mn=3$,$\therefore 16-(m-n)^{2}=12$,解得$(m-n)^{2}=4$,$m-n=\pm 2$.②由(2),得$(2m+n)^{2}-(2m-n)^{2}=8mn$.$\because (2m+n)^{2}=13$,$(2m-n)^{2}=5$,$\therefore 13-5=8mn$,解得$mn=1$.

答案： 解:
(1)$4ab$ $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$
(2)$\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})=4ab$,
$\therefore (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$.
(3)①由
(2),得$(m+n)^{2}-(m-n)^{2}=4mn$.
$\because (m+n)^{2}=16$,$mn=3$,
$\therefore 16-(m-n)^{2}=12$,
解得$(m-n)^{2}=4$,$m-n=\pm 2$.
②由
(2),得$(2m+n)^{2}-(2m-n)^{2}=8mn$.
$\because (2m+n)^{2}=13$,$(2m-n)^{2}=5$,
$\therefore 13-5=8mn$,解得$mn=1$.