《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册华师大版》

7. 如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC= BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是AC=DE.

答案： AC=DE

8. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 16 cm,BC= 8 cm,过点A作AM⊥AC,点P、Q分别在线段AC和射线AM上移动. 若PQ= AB,则当AP= 8 cm 或 16 cm时,△ABC和△APQ全等.

答案： 8 cm 或 16 cm

9. 如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH= EB= 3,AE= 4,求CH的长.

答案： 解:在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEH=∠ADB=90°.
∵∠EAH+∠AHE=90°,∠DHC+∠BCH=90°,∠EHA=∠DHC(对顶角相等),
∴∠EAH=∠DCH(等量代换).
∵在△BCE 和△HAE 中,
∠BEC=∠HEA,
∠BCE=∠HAE,
BE=HE=3,
∴△AEH≌△CEB(AAS),
∴AE=CE.
∵EH=EB=3,AE=4,
∴CH=CE - EH=AE - EH=4 - 3=1.

10. (几何直观)已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB= OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证：AB= AC；
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证：AB= AC.

答案：
证明:
(1)过点 O 分别作 OE⊥AB,OF⊥AC,E、F 分别是垂足,连结 AO,如图 1.
由题意,知∠OEB=∠OFC=90°,OE=OF,OB=OC.
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴BE=CF.
同理可证:Rt△AOE≌Rt△AOF,
∴AE=AF,
∴AE+BE=AF+CF,即 AB=AC.

(2)过点 O 分别作 OE⊥AB,OF⊥AC,E、F 分别是垂足,连结 AO,如图 2.
由题意,知 OE=OF,∠BEO=∠CFO=90°.
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中,
∵OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴BE=CF.
同理可证:Rt△AOE≌Rt△AOF,
∴AE=AF.
∴AE+BE=AF+CF,即 AB=AC.