《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册华师大版》

13. (14分)先化简,再求值：$[(x+4y)^{2}-(2y+x)(x-2y)]÷(-4y)$,其中$x= 1$,$y= -3$。

答案： 解:原式$=[x^{2}+8xy+16y^{2}-(x^{2}-4y^{2})]÷(-4y)$$=(x^{2}+8xy+16y^{2}-x^{2}+4y^{2})÷(-4y)$$=(8xy+20y^{2})÷(-4y)$$=-2x-5y$.当$x=1,y=-3$时,原式$=-2×1-5×(-3)=-2+15=13$.

14. (14分)已知$a-b= 5$,$ab= -2$。
(1)求$(a+b)^{2}$的值；
(2)求$a^{2}-ab+b^{2}$的值。

答案：
(1)将$a-b=5$两边平方,得$(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=25$,$\therefore a^{2}+b^{2}=21$,$\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=21+2×(-2)=17$.
(2)$a^{2}-ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-3ab=(a+b)^{2}-3ab=17-3×(-2)=23$.

15. (20分)阅读材料：把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法。配方法在因式分解、最值问题中有着广泛的应用。
例如：
①用配方法因式分解：$a^{2}+6a+8$。
解：$a^{2}+6a+8= a^{2}+6a+9-1= (a+3)^{2}-1= (a+3-1)(a+3+1)= (a+2)(a+4)$。
②求$a^{2}+6a+8$的最小值。
解：$a^{2}+6a+8= a^{2}+6a+9-1= (a+3)^{2}-1$。
$\because(a+3)^{2}\geq0$,$\therefore(a+3)^{2}-1\geq-1$,即$a^{2}+6a+8的最小值为-1$。
请根据上述材料回答下列问题：
(1)在横线上添加一个常数项使之成为完全平方式：$a^{2}+4a+$4。
(2)利用上述方法进行因式分解：$a^{2}-10a+21$。
原式$=a^{2}-10a+25-4=(a-5)^{2}-4=(a-5+2)(a-5-2)=(a-3)(a-7)$
(3)求$x^{2}-4x-12$的最小值。
原式$=x^{2}-4x+4-16=(x-2)^{2}-16$.$\because (x-2)^{2}\geq0$,$\therefore (x-2)^{2}-16\geq-16$,即$x^{2}-4x-12$的最小值为-16.

答案：
(1)4
(2)原式$=a^{2}-10a+25-4=(a-5)^{2}-4=(a-5+2)(a-5-2)=(a-3)(a-7)$.
(3)原式$=x^{2}-4x+4-16=(x-2)^{2}-16$.$\because (x-2)^{2}\geq0$,$\therefore (x-2)^{2}-16\geq-16$,即$x^{2}-4x-12$的最小值为-16.