《2025年时习之暑假衔接七年级数学人教版》

例 如图,$\angle BAC= \angle DAE$,$\angle B= \angle C$,$BD= CE$,求证:$AD= AE$.
导析:由$\angle BAC= \angle DAE$,$\angle ABD= \angle ACE$,$BD= CE可证得\triangle BAD\cong \triangle CAE$,从而可得出结论.
证明:$\because \angle BAC= \angle DAE$,$\therefore \angle BAD+\angle DAC= \angle DAC+\angle CAE$.$\therefore \angle BAD= \angle CAE$.
在$\triangle BAD和\triangle CAE$中,$\begin{cases} \angle BAD= \angle CAE, \\ \angle B= \angle C, \\ BD= CE, \end{cases} $
$\therefore \triangle BAD\cong \triangle CAE(AAS)$.$\therefore AD= AE$.

答案： 【解析】：根据已知条件$\angle BAC = \angle DAE$，通过等式性质得到$\angle BAD = \angle CAE$，再结合$\angle B = \angle C$，$BD = CE$，利用$AAS$判定定理证明$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，最后根据全等三角形对应边相等得出$AD = AE$。
【答案】：$\triangle BAD\cong\triangle CAE(AAS)$，所以$AD = AE$。

如图,$\angle ABC= \angle ACB$,$BD\perp AC$,$CE\perp AB$,垂足分别是$D$,$E$,求证:$\triangle BCD\cong \triangle CBE$.

答案：
∵ $ BD \perp AC $，$ CE \perp AB $，
∴ $ \angle BDC = \angle CEB = 90 ^ { \circ } $。在 $ \triangle BCD $ 和 $ \triangle CBE $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle BCD = \angle CBE , } \\ { \angle BDC = \angle CEB , } \\ { BC = CB , } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle BCD \cong \triangle CBE ( AAS ) $。

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C$,$D是BC$的中点,过点$D分别向AB$,$AC$作垂线段,则能够说明$\triangle BDE\cong \triangle CDF$的理由是 ( )

A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.不能确定

答案： C

2. 如图,在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$BC// EF$,$\angle BAC= \angle D$,且$BC= EF= 5$,$AB= 4$,$AC= 6$,则$DF$的长为 ( )


A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C

3. 如图,$\angle A= \angle D= 90^{\circ}$,$AC与BD交于点O$,$AB= CD= 4$,$AO= 3$,$BO= 5$,则$BD$的长为 ( )

A.6
B.7
C.8
D.10

答案： C

4. 如图,已知点$B$,$E$,$C$,$F$在一条直线上,$AC= DF$,$\angle ACB= \angle DFE$,下列条件不一定能使$\triangle ABC\cong \triangle DEF$的是 ( )


A.$BE= CF$
B.$\angle A= \angle D$
C.$\angle B= \angle DEF$
D.$AB= DE$

答案： D

5. 如图,$\angle 1= \angle 2$,$\angle B= \angle C$,则$\triangle ABD与\triangle ACD$______(填“全等”或“不一定全等”).

答案： 全等