《2025年时习之暑假衔接七年级数学人教版》

2. 某旅行社组织一批游客外出旅游,原计划租用45座客车(最多可坐45名游客)若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车(最多可坐60名游客),则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元,60座客车租金为每辆300元,问:
(1)这批游客的人数是多少?原计划租用多少辆45座客车?
(2)若租用同一种车,要使每位游客都有座位,应该怎样租用更合算?

答案：
(1)设这批游客的人数是$x$人, 原计划租用$y$辆45座客车. 根据题意, 得$\left\{\begin{array}{l} 45y+15=x\\ 60(y-1)=x\end{array}\right.$, 解得$\left\{\begin{array}{l} x=240\\ y=5\end{array}\right.$.
答: 这批游客的人数是240人, 原计划租用5辆45座客车.
(2)租45座客车:$240÷45≈5.3$(辆), 所以需租6辆, 租金为$220×6=1320$(元). 租60座客车:$240÷60=4$(辆), 所以需租4辆, 租金为$300×4=1200$(元). 所以, 租用4辆60座客车更合算.

3. 为实现跨越式发展,某市花城新区建设正按投资计划有序推进.花城新区建设工程部因道路建设需要开挖土石方,计划每小时挖掘土石方$540m^{3}$,现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作,租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表所示:
| |每小时租金(单位:元/台)|每小时挖掘土石方量(单位:$m^{3}/$台)|
|甲型挖掘机|100|60|
|乙型挖掘机|120|80|
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台?
(2)如果每小时支付的租金不超过850元,又恰好完成每小时的挖掘量,那么共有哪几种不同的租用方案?

答案：
(1)设甲型号的挖掘机需$x$台, 乙型号的挖掘机需$y$台. 依题意得$\left\{\begin{array}{l} x+y=8\\ 60x+80y=540\end{array}\right.$, 解得$\left\{\begin{array}{l} x=5\\ y=3\end{array}\right.$.
答: 甲型号的挖掘机需5台, 乙型号的挖掘机需3台.
(2)设租用$m$台甲型挖掘机,$n$台乙型挖掘机. 依题意得$60m+80n=540$. 化简得$3m+4n=27$. 又$m,n$都为正整数,$\therefore m=5$,$n=3$或$m=1$,$n=6$. 当$m=5$,$n=3$时, 支付租金:$100×5+120×3=860$(元)＞850元, 超出限额; 当$m=1$,$n=6$时, 支付租金:$100×1+120×6=820$(元)＜850元, 符合要求.
答: 有一种租车方案, 即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机.

4. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费200元,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?

答案：
(1)设该店有客房$x$间, 房客$y$人, 根据题意得$\left\{\begin{array}{l} 7x+7=y\\ 9(x-1)=y\end{array}\right.$, 解得$\left\{\begin{array}{l} x=8\\ y=63\end{array}\right.$.
答: 该店有客房8间, 房客63人.
(2)若每间客房住4人, 则63名客人至少需客房16间, 需付费$200×16=3200$(元); 若一次性定客房18间, 则需付费$200×18×0.8=2880$(元)＜3200元.
答: 诗中“众客”再次一起入住, 他们选择一次性订房18间更合算.