《2025年时习之暑假衔接七年级数学人教版》

例 如图,已知$E$,$F是线段AB$上的两点,且$AE = BF$,$AD = BC$,$\angle A = \angle B$.求证:$DF = CE$.

导析:先证明$AF = BE$,再利用“SAS”证明两个三角形全等.
证明:$\because AE = BF$,$\therefore AE + EF = BF + EF$,即$AF = BE$.在$\triangle DAF和\triangle CBE$中,$\begin{cases} AD = BC,\\ \angle A = \angle B,\\ AF = BE,\\ \end{cases}\\ $
$\therefore \triangle DAF\cong\triangle CBE(\text{SAS})$.$\therefore DF = CE$.
方法归纳:本题直接给出了一边一角分别相等,因此再证另一边(即$AF = BE$)相等即可利用“SAS”证两个三角形全等,进而推出对应边相等.

答案： 【解析】：先根据已知条件$AE = BF$，通过等式性质得到$AF = BE$，再结合已知的$AD = BC$，$\angle A = \angle B$，利用“SAS”判定定理证明$\triangle DAF$与$\triangle CBE$全等，最后根据全等三角形的对应边相等得出$DF = CE$。
【答案】：$\because AE = BF$，$\therefore AE + EF = BF + EF$，即$AF = BE$。在$\triangle DAF$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle A = \angle B\\AF = BE\end{cases}$，$\therefore\triangle DAF\cong\triangle CBE(SAS)$，$\therefore DF = CE$。

如图,点$A$,$D$,$B$,$E$在一条直线上,$AD = BE$,$AC = DF$,$AC// DF$.求证:$BC = EF$.

答案：
∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即 AB=DE。
∵AC//DF，
∴∠A=∠EDF。在△ABC 和△DEF 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ ∠A=∠EDF,\\ AC=DF,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴BC=EF。

1.下图中全等的两个三角形是 ( )


A.③④
B.②③
C.①②
D.①④

答案： C

2.如图,在$\triangle ABD和\triangle ACE$中,$AB = AC$,$AD = AE$,要证$\triangle ABD\cong\triangle ACE$,需补充的条件是 ( )

A.$\angle B = \angle C$
B.$\angle D = \angle E$
C.$\angle DAE = \angle BAC$
D.$\angle CAD = \angle DAC$

答案： C

3.如图,$AC$,$BD相交于点O$,$\angle 1 = \angle 2$,若要利用“SAS”说明$\triangle ACB\cong\triangle BDA$,则还需要加上条件 ( )


A.$AD = BC$
B.$BD = AC$
C.$\angle D = \angle C$
D.$OA = AB$

答案： B