《2025年时习之暑假衔接七年级数学人教版》

根据以下素材,探索完成任务。

答案： 【解析】：
### 任务1：求$A$款奶茶和$B$款奶茶的销售单价
设$A$款奶茶的销售单价为$x$元，$B$款奶茶的销售单价为$y$元。
根据“买$2$杯$A$款奶茶，$3$杯$B$款奶茶共需$76$元；买$4$杯$A$款奶茶，$7$杯$B$款奶茶共需$168$元”，可列方程组$\begin{cases}2x + 3y = 76 \\4x + 7y = 168 \end{cases}$。
对第一个方程进行化简：$2x+3y = 76$，两边同时乘以$2$得到$4x + 6y = 152$。
用$4x + 7y = 168$减去$4x + 6y = 152$，可得：
$(4x + 7y)-(4x + 6y)=168 - 152$，
$4x + 7y - 4x - 6y = 16$，
$y = 16$。
把$y = 16$代入$2x + 3y = 76$，得$2x+3×16 = 76$，
$2x+48 = 76$，
$2x = 76 - 48$，
$2x = 28$，
$x = 14$。
### 任务2：求不加料情况下的购买方案
设购买$A$款奶茶$m$杯，$B$款奶茶$n$杯，$m\gt0$，$n\gt0$，且$m$、$n$为整数。
由$14m + 16n = 280$，化简得$7m + 8n = 140$，则$m=\dfrac{140 - 8n}{7}=20-\dfrac{8n}{7}$。
因为$m$、$n$为正整数，所以$n$是$7$的倍数。
当$n = 7$时，$m = 20-\dfrac{8×7}{7}=20 - 8 = 12$；
当$n = 14$时，$m = 20-\dfrac{8×14}{7}=20 - 16 = 4$。
### 任务3：求$B$款加料的奶茶杯数
设$A$款不加料的奶茶杯数为$a$杯，$A$款加料的奶茶杯数为$b$杯，$B$款不加料的奶茶杯数为$c$杯，$B$款加料的奶茶杯数为$d$杯。
已知$a=\dfrac{1}{3}(a + b + c + d)$，即$2a=b + c + d$。
又因为$14a+(14 + 2)b+16c+(16 + 2)d = 336$，化简得$14a+16b+16c+18d = 336$，再化简得$7a + 8b + 8c + 9d = 168$。
将$b + c + d = 2a$变形为$b + c=2a - d$，代入$7a + 8b + 8c + 9d = 168$中，
$7a+8(b + c)+9d = 168$，
$7a+8(2a - d)+9d = 168$，
$7a + 16a-8d + 9d = 168$，
$23a + d = 168$。
因为$a$、$b$、$c$、$d$为正整数，当$a = 7$时，$d = 168 - 23×7=168 - 161 = 7$。
【答案】：
任务1：$A$款奶茶单价$\boldsymbol{14}$元，$B$款奶茶单价$\boldsymbol{16}$元。
任务2：有两种购买方案，方案一：购买$A$款奶茶$\boldsymbol{12}$杯，$B$款奶茶$\boldsymbol{7}$杯；方案二：购买$A$款奶茶$\boldsymbol{4}$杯，$B$款奶茶$\boldsymbol{14}$杯。
任务3：$\boldsymbol{7}$杯。