《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

21. (6分)嘉淇准备完成题目：化简：$ (□ x^{2} + 6x + 8) - (6x + 5x^{2} + 2) $。发现系数“$ □ $”印刷不清楚。
(1)他把“$ □ $”猜成3,请你化简：$ (3x^{2} + 6x + 8) - (6x + 5x^{2} + 2) $；
(2)他妈妈说：“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数”,通过计算说明原题中“$ □ $”是几。

答案：
(1) $ ( 3 x ^ { 2 } + 6 x + 8 ) - ( 6 x + 5 x ^ { 2 } + 2 ) = 3 x ^ { 2 } + 6 x + 8 - 6 x - 5 x ^ { 2 } - 2 = - 2 x ^ { 2 } + 6 $。
(2) 设“$ □ $”是 $ a $，则原式 $ = ( a x ^ { 2 } + 6 x + 8 ) - ( 6 x + 5 x ^ { 2 } + 2 ) = a x ^ { 2 } + 6 x + 8 - 6 x - 5 x ^ { 2 } - 2 = ( a - 5 ) x ^ { 2 } + 6 $。
因为标准答案的结果是常数，所以 $ a - 5 = 0 $，解得 $ a = 5 $。

22. (6分)在数学探究课上,小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割,如图所示：
第1次分割,将此正方形纸片三等分,其中空白部分的面积记为$ S_{1} $,则$ S_{1} = \frac{1}{3} $；
第2次分割,将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分,其中空白部分的面积记为$ S_{2} $,则$ S_{2} = \frac{1}{3^{2}} $；第3次分割,将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分,其中空白部分的面积记为$ S_{3} $,则$ S_{3} = \frac{1}{3^{3}} $；
……
根据以上规律,完成下列问题：
(1)尝试：第4次分割后,$ S_{4} = $______$\frac{1}{81}$；
(2)初步应用：根据规律,求$ \frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + \frac{2}{3^{4}} $的值；
第 1 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } = 1 - \frac { 2 } { 3 } $，第 2 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } \right) $，第 3 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } \right) $，第 4 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 4 } } \right) $，所以 $ \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 4 } } = 1 - \frac { 1 } { 81 } = \frac { 80 } { 81 } $。
(3)拓展应用：利用以上规律,求$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + … + \frac{1}{3^{n}} $的值。
由 (2) 得出第 $ n $ 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \cdots × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { n } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 4 } } + \cdots + \frac { 2 } { 3 ^ { n } } \right) $，所以 $ \frac { 1 } { 3 ^ { n } } = 1 - 2 × \left( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } + \cdots + \frac { 1 } { 3 ^ { n } } \right) $，所以 $ \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { 3 ^ { n } } = \left( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { n } } \right) × \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 × 3 ^ { n } } $。

答案：
(1) $ \frac { 1 } { 81 } $ 解析：第 4 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 81 } $，故答案为 $ \frac { 1 } { 81 } $。
(2) 第 1 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } = 1 - \frac { 2 } { 3 } $，第 2 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } \right) $，第 3 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } \right) $，第 4 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 4 } } \right) $，所以 $ \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 4 } } = 1 - \frac { 1 } { 81 } = \frac { 80 } { 81 } $。
(3) 由
(2) 得出第 $ n $ 次分割后空白部分的面积为 $ \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } × \cdots × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 ^ { n } } = 1 - \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 2 } { 3 ^ { 4 } } + \cdots + \frac { 2 } { 3 ^ { n } } \right) $，所以 $ \frac { 1 } { 3 ^ { n } } = 1 - 2 × \left( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } + \cdots + \frac { 1 } { 3 ^ { n } } \right) $，所以 $ \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { 3 ^ { n } } = \left( 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { n } } \right) × \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 × 3 ^ { n } } $。