《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

19. (6分)有这样一道题：“求$\frac {a^{2}+a}{a^{2}-1}-\frac {a+1}{a^{2}+2a+1}÷\frac {a-1}{a+1}$的值,其中$a= 2026$.”小明不小心把$a= 2026错抄成a= 2000$,但他的计算结果却是正确的,请说明原因.
$\frac{a^{2} + a}{a^{2} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + 2a + 1} ÷ \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a - 1} = 1$，所以算式的值与$a$无关，所以小明不小心把$a = 2026$错抄成$a = 2000$，所得的计算结果仍是正确的。

答案： $\frac{a^{2} + a}{a^{2} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + 2a + 1} ÷ \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a - 1} = 1$，所以算式的值与$a$无关，所以小明不小心把$a = 2026$错抄成$a = 2000$，所得的计算结果仍是正确的。

20. (8分)班级组织同学们乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动,基地离学校有90千米,队伍8：00从学校出发.苏老师因有事情,8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶,追上大巴后继续前行,结果比队伍提前15分钟到达基地.问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

答案：
(1) 设大巴的平均速度为$x$千米/时，则小车的平均速度为$1.5x$千米/时，
根据题意，得$\frac{90}{x} = \frac{90}{1.5x} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$，解得$x = 40$，
经检验，$x = 40$是原方程的解。$1.5x = 1.5×40 = 60$。
答：大巴的平均速度为40千米/时，小车的平均速度为60千米/时。
(2) 设苏老师追上大巴的地点到基地的路程有$y$千米，根据题意，得$\frac{1}{2} + \frac{90 - y}{60} = \frac{90 - y}{40}$，解得$y = 30$。
答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米。

21. (10分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.如：$\frac {x+1}{x-1}= \frac {x-1+2}{x-1}= \frac {x-1}{x-1}+\frac {2}{x-1}= 1+\frac {2}{x-1}$,则$\frac {x+1}{x-1}$是“和谐分式”.
(1)分式：①$\frac {x+1}{x}$；②$\frac {2+x}{2}$；③$\frac {x+2}{x+1}$；④$\frac {y^{2}+1}{y^{2}}$,其中属于“和谐分式”的是①③④(填序号)；
(2)将“和谐分式”$\frac {a^{2}-2a+3}{a-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为$a - 1 + \frac{2}{a - 1}$；
(3)应用：先化简$\frac {3x+6}{x+1}-\frac {x-1}{x}÷\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x}$,并求$x$取什么整数时,该式的值为整数.
原式$ = \frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \frac{2}{x + 1}$。所以当$x + 1 = ±1$或$x + 1 = ±2$时，分式的值为整数，此时$x = 0$或$-2$或1或$-3$。又因为分式有意义时$x ≠ 0$、$1$、$-1$、$-2$，所以$x = -3$。

答案：
(1) ①③④
(2) $a - 1 + \frac{2}{a - 1}$
(3) 原式$ = \frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \frac{2}{x + 1}$。所以当$x + 1 = ±1$或$x + 1 = ±2$时，分式的值为整数，此时$x = 0$或$-2$或1或$-3$。又因为分式有意义时$x ≠ 0$、$1$、$-1$、$-2$，所以$x = -3$。