《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

20. 阅读与思考
我们规定若关于$x的一元一次方程ax = b的解为x = b - a$,则称该方程为“差解方程”,例如：$3x = 4.5的解为x = 1.5$,且$1.5 = 4.5 - 3$,则方程$3x = 4.5$是“差解方程”.请根据上述规定解答下列问题.
(1)判断$4x = \frac{16}{3}$是不是“差解方程”,并说明理由.
是,理由:因为4x = $\frac{16}{3}$,所以x = $\frac{4}{3}$.因为$\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{3}$−4,所以方程4x = $\frac{16}{3}$是“差解方程”
(2)若关于$x的一元一次方程3x = m - 2$是“差解方程”,求$m$的值.
解方程3x = m−2,得x = $\frac{m−2}{3}$,因为一元一次方程3x = m−2是“差解方程”,所以$\frac{m−2}{3}$ = m−2−3,即$\frac{m−2}{3}$ = m−5,所以m−2 = 3m−15,所以−2m = −13,所以m = $\frac{13}{2}$

答案：
(1)是,理由:因为4x = $\frac{16}{3}$,所以x = $\frac{4}{3}$.因为$\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{3}$−4,所以方程4x = $\frac{16}{3}$是“差解方程”
(2)解方程3x = m−2,得x = $\frac{m−2}{3}$,因为一元一次方程3x = m−2是“差解方程”,所以$\frac{m−2}{3}$ = m−2−3,即$\frac{m−2}{3}$ = m−5,所以m−2 = 3m−15,所以−2m = −13,所以m = $\frac{13}{2}$

21. 某校初三($5$)班同学利用课余时间回收饮料瓶,用卖得的钱去购买$5$本大小不同的两种笔记本,要求总钱数不超过$28$元,且购买的笔记本的总页数不低于$340$页,两种笔记本的价格和页数如下表：
根据上述相关数据,请你设计一种节约资金的购买方案,并说明节约资金的理由.
购买1本大笔记本，4本小笔记本，理由：设购买大笔记本x本，则购买小笔记本(5−x)本.由题意可知$\begin{cases}6x + 5(5 - x)\leqslant 28 \\100x + 60(5 - x)\geqslant 340 \end{cases}$，由①得x≤3，由②得x≥1，所以1≤x≤3.因为x为正整数，所以x = 1或2或3.当x = 1时，5−x = 4，所需的费用为6×1 + 5×4 = 26(元)；当x = 2时，5−x = 3，所需的费用为6×2 + 5×3 = 27(元)；当x = 3时，5−x = 2，所需的费用为6×3 + 5×2 = 28(元).为了节约资金，选择购买1本大笔记本，4本小笔记本.

答案： 设购买大笔记本x本，则购买小笔记本(5−x)本.
　由题意可知$\begin{cases}6x + 5(5 - x)\leqslant 28 &①\\100x + 60(5 - x)\geqslant 340 &②\end{cases}$
　由①得x≤3,由②得x≥1,所以1≤x≤3.
　因为x为正整数,所以x = 1或2或3.
当x = 1时,5−x = 4,所需的费用为6×1 + 5×4 = 26(元);
　　当x = 2时,5−x = 3,所需的费用为6×2 + 5×3 = 27(元);
　　当x = 3时,5−x = 2,所需的费用为6×3 + 5×2 = 28(元).为了节约资金，选择购买1本大笔记本，4本小笔记本

22. 某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁$5$年,$5年期满后由开发商以比原商铺标价高20\%$的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的$10\%$；
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,$2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10\%$,但要缴纳租金的$10\%$作为管理费用.
(1)请问：投资者选择哪种购铺方案,$5$年后所获得的投资收益率更高？为什么？(注：投资收益率$=\frac{\text{投资收益}}{\text{实际投资额}} × 100\%$)
(2)对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么$5年后两人获得的收益将相差5$万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？

答案：
(1)设商铺标价为x万元,按方案一购买,则可获投资收益(120%−1)x + 10%x×5 = 0.7x,投资收益率为0.7×100% = 70%;按方案二购买,则可获投资收益(120%−0.85)x + 10%x×(1−10%)×(5−2)=0.62x,投资收益率为0.62÷0.85×100%≈72.9%,所以投资者选择方案二所获得的投资收益率更高.
(2)由题意得0.7x−0.62x = 5,解得x = 62.5,62.5×0.85 = 53.125(万元),所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元