《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

20. (8分)某商场销售 $ A, B $ 两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如表所示:
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.
(1)该商场计划购进 $ A, B $ 两种品牌的教学设备各多少套?
答：该商场计划购进 $A$，$B$ 两种品牌的教学设备分别为20套，30套。
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少 $ A $ 种设备的购进数量,增加 $ B $ 种设备的购进数量,已知 $ B $ 种设备增加的数量是 $ A $ 种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问:$ A $ 种设备购进数量至多减少多少套?
答：$A$ 种设备购进数量至多减少10套。

答案：
(1) 设该商场计划购进 $A$，$B$ 两种品牌的教学设备分别为 $x$ 套，$y$ 套，
根据题意，得 $ \begin{cases} 1.5x + 1.2y = 66 \\ (1.65 - 1.5)x + (1.4 - 1.2)y = 9 \end{cases} $，
解得 $ \begin{cases} x = 20 \\ y = 30 \end{cases} $。答：该商场计划购进 $A$，$B$ 两种品牌的教学设备分别为 20 套，30 套。
(2) 设 $A$ 种设备购进数量减少 $a$ 套，则 $B$ 种设备购进数量增加 $1.5a$ 套。根据题意，得 $1.5(20 - a) + 1.2(30 + 1.5a) \leq 69$，解得 $a \leq 10$。答：$A$ 种设备购进数量至多减少 10 套。

21. (8分)某地拟召开一场安全级别较高的会议,预计将有4000至7000名人员参加会议,为了确保会议的安全,会议组委会决定对每位入场人员进行安全检查,现了解到安检设备有门式安检仪和手持安检仪两种:门式安检仪每台3000元,需安检员2名,每分钟可通过10人;手持安检仪每只500元,需安检员1名,每分钟可通过2人.该会议中心共有6个不同的入口,每个入口都有5条通道可供使用,每条通道只可安放一台门式安检仪或一只手持安检仪,每位安检员的劳务费用均为200元(安检总费用包括安检设备费用和安检员的劳务费用).现知道会议当日人员从上午9:00开始入场,到上午9:30结束入场,6个入口都采用相同的安检方案,所有人员须提前到达,并根据会议通知从相应入口进入.
(1)如果每个入口处只有2条通道安放门式安检仪,其余3条通道均为手持安检仪,在这个安检方案下,请问:在规定时间内可通过多少名人员?安检所需要的总费用为多少元?
(2)请你设计一个安检方案,确保安检工作的正常进行,同时使得安检所需要的总费用尽可能少.

答案：
(1) 根据题意，得 $ (10 × 2 + 2 × 3) × 6 × 30 = 4680 $（名），安检所需要的总费用为 $ (2 × 3000 + 2 × 2 × 200 + 3 × 500 + 3 × 1 × 200) × 6 = 53400 $（元）。
答：在规定时间内可通过 4680 名人员，安检所需要的总费用为 53400 元。
(2) 设每个入口处，有 $n$ 条通道安放门式安检仪，而其余 $ (5 - n) $ 条通道均为手持安检仪 $ (0 \leq n \leq 5, n $ 是整数 $ ) $，根据题意，得 $ [10n + 2(5 - n)] × 6 × 30 \geq 7000 $，解不等式，得 $ n \geq \frac{65}{18} \approx 3.6 $。因为 $ 0 \leq n \leq 5 $，且为整数，所以 $ n = 4 $ 或 $ n = 5 $。安检所需要的总费用：$ w = [3000n + 2n × 200 + 500(5 - n) + (5 - n) × 1 × 200] × 6 = 16200n + 21000 $，当 $ n = 4 $ 时，$ w = 16200 × 4 + 21000 = 85800 $；当 $ n = 5 $ 时，$ w = 16200 × 5 + 21000 = 102000 $。因为 $ 85800 ＜ 102000 $，所以每个入口处有 4 条通道安放门式安检仪，而另外 1 条通道为手持安检仪，可满足题目要求。