《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

23. (8分)绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售,若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元,用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同。
(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量比乙种牛奶的3倍少5件,两种牛奶的总数不超过95件,该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元,乙种牛奶的销售价格为每件55元,则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后,可使销售的总利润(利润= 售价-进价)超过371元,请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？

答案：
(1) 设乙种牛奶的进价为每件 $ x$ 元，则甲种牛奶的进价为每件 $ ( x - 5 )$ 元。
由题意，得 $ \frac { 90 } { x - 5 } = \frac { 100 } { x }$，解得 $ x = 50$。经检验，$ x = 50$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。故乙种牛奶的进价为每件 50 元，甲种牛奶的进价为每件 45 元。
(2) 设购进乙种牛奶 $ y$ 件，则购进甲种牛奶 $ ( 3 y - 5 )$ 件。
由题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 5 + y \leq 95 } \\ { ( 49 - 45 ) ( 3 y - 5 ) + ( 55 - 50 ) y ＞ 371 } \end{array} \right.$，
解得 $ 23 ＜ y \leq 25$。
因为 $ y$ 为整数，所以 $ y = 24$ 或 25，所以共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶 67 件，乙种牛奶 24 件；方案二：购进甲种牛奶 70 件，乙种牛奶 25 件。

24. (10分)【发现问题】
如图①,小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴$MN的光线AB和CD$经过凹透镜的折射后,折射光线$BE$、$DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P$。
【提出问题】
小明提出：$∠BPD$、$∠ABP和∠CDP$三个角之间存在着什么样的数量关系？
【分析问题】
我们学习过平行线的性质,利用平行线的性质可以把$∠BPD$分成两部分进行研究。
【解决问题】
请你帮小明解决这个问题,并说明理由。
【举一反三】
(1)如图①,若$∠ABE = 150^{\circ}$,$∠CDF = 170^{\circ}$,则$∠EPF = $40度。
(2)如图②,已知$AB// CD$,点$E$、$F分别是AB$、$CD$上的点,点$P位于AB$上方,$∠PEB = \alpha$,$∠PFD = \beta$。用含$\alpha和\beta$的代数式表示下列各角。
①$∠P$的大小为$\beta - \alpha$。
②如图③,在图②的基础上,若$EQ和FQ分别平分∠PEB和∠PFD$,则$∠Q$的大小为$\frac{1}{2}(\beta - \alpha)$。

答案：
【解决问题】$ \angle B P D$、$ \angle A B P$ 和 $ \angle C D P$ 三个角之间存在的数量关系是 $ \angle B P D = \angle A B P + \angle C D P$，理由：
依题意得，$ A B // M N // C D$，所以 $ \angle B P N = \angle A B P$，$ \angle D P N = \angle C D P$，所以 $ \angle B P N + \angle D P N = \angle A B P + \angle C D P$，即 $ \angle B P D = \angle A B P + \angle C D P$。
【举一反三】
(1) 40 解析：因为 $ \angle A B E = 150 ^ { \circ }$，$ \angle C D F = 170 ^ { \circ }$，所以 $ \angle A B P = 180 ^ { \circ } - \angle A B E = 180 ^ { \circ } - 150 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ }$，$ \angle C D P = 180 ^ { \circ } - \angle C D F = 180 ^ { \circ } - 170 ^ { \circ } = 10 ^ { \circ }$，所以 $ \angle B P D = \angle A B P + \angle C D P = 30 ^ { \circ } + 10 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ }$，所以 $ \angle E P F = 40 ^ { \circ }$。故答案为 40。
(2) ① $ \beta - \alpha$ 解析：过点 $ P$ 作 $ P M // A B$，如图所示。

因为 $ A B // C D$，所以 $ P M // A B // C D$，所以 $ \angle M P F + \angle P F D = 180 ^ { \circ }$，$ \angle M P E + \angle P E B = 180 ^ { \circ }$，所以 $ \angle M P F + \angle P F D = \angle M P E + \angle P E B$。因为 $ \angle P E B = \alpha$，$ \angle P F D = \beta$，$ \angle M P E = \angle M P F + \angle E P F$，所以 $ \angle M P F + \beta = \angle M P F + \angle E P F + \alpha$，所以 $ \angle E P F = \beta - \alpha$，故答案为 $ \beta - \alpha$。
② $ \frac { 1 } { 2 } ( \beta - \alpha )$ 解析：因为 $ E Q$ 和 $ F Q$ 分别平分 $ \angle P E B$ 和 $ \angle P F D$，$ \angle P E B = \alpha$，$ \angle P F D = \beta$，所以 $ \angle Q E B = \frac { 1 } { 2 } \angle P E B = \frac { 1 } { 2 } \alpha$，$ \angle Q F D = \frac { 1 } { 2 } \angle P F D = \frac { 1 } { 2 } \beta$，由①的结论可知：$ \angle Q = \angle Q F D - \angle Q E B = \frac { 1 } { 2 } ( \beta - \alpha )$。故答案为 $ \frac { 1 } { 2 } ( \beta - \alpha )$。