《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

20. (6分)已知:如图,$DG⊥BC,AC⊥BC,$$EF⊥AB$,垂足分别为G,C,E,$∠1= ∠2$.求证:$EF// CD$.
证明:因为 $ DG \perp BC $，$ AC \perp BC $，所以 $ \angle DGB = \angle ACB = 90^{\circ} $，所以 DG // AC，所以 $ \angle 2 = \angle ACD$。因为 $ \angle 1 = \angle 2 $，所以 $ \angle 1 = \angle DCA$，所以 $ EF // CD $。

答案： 因为 $ DG \perp BC $，$ AC \perp BC $，所以 $ \angle DGB = \angle ACB = 90^{\circ} $，所以 $ DG // AC $，所以 $ \angle 2 = \angle ACD $。因为 $ \angle 1 = \angle 2 $，所以 $ \angle 1 = \angle DCA $，所以 $ EF // CD $。

21. (6分)如图,已知直线$CB// OA,∠C= 100^{\circ },$点E,F在CB边上,且满足$∠FOB= ∠AOB,$OE平分$∠COF$.
(1)求$∠EOB$的度数.因为 $ CB // OA $，$ \angle C = 100^{\circ} $，所以 $ \angle COA = 80^{\circ} $。因为 $ \angle FOB = \angle AOB $，OE 平分 $ \angle COF $，所以 $ \angle EOF = \frac{1}{2} \angle COF $，$ \angle BOF = \frac{1}{2} \angle AOF $，所以 $ \angle EOB = \frac{1}{2} \angle COA = 40^{\circ} $。
(2)若平行移动AB,那么$∠OBC:∠OFC$的值是否随之发生变化? 若变化,请找出变化的规律;若不变,求出这个比值.$ \angle OBC : \angle OFC $ 的值不会随之变化，这个比值恒为 $ \frac{1}{2} $。因为 $ CB // OA $，所以 $ \angle OBC = \angle AOB $，$ \angle OFC = \angle FOA $。因为 $ \angle FOB = \angle AOB $，所以 $ \angle AOB = \frac{1}{2} \angle FOA $，所以 $ \angle OBC = \frac{1}{2} \angle OFC $，故 $ \angle OBC : \angle OFC = \frac{1}{2} $。

答案：
(1)因为 $ CB // OA $，$ \angle C = 100^{\circ} $，所以 $ \angle COA = 80^{\circ} $。因为 $ \angle FOB = \angle AOB $，OE 平分 $ \angle COF $，所以 $ \angle EOF = \frac{1}{2} \angle COF $，$ \angle BOF = \frac{1}{2} \angle AOF $，所以 $ \angle EOB = \frac{1}{2} \angle COA = 40^{\circ} $。
(2)$ \angle OBC : \angle OFC $ 的值不会随之变化，这个比值恒为 $ \frac{1}{2} $。因为 $ CB // OA $，所以 $ \angle OBC = \angle AOB $，$ \angle OFC = \angle FOA $。因为 $ \angle FOB = \angle AOB $，所以 $ \angle AOB = \frac{1}{2} \angle FOA $，所以 $ \angle OBC = \frac{1}{2} \angle OFC $，故 $ \angle OBC : \angle OFC = \frac{1}{2} $。

22. (8分)如图①,直线EF与直线AB,CD分别交于点G,H,$∠AGE$为钝角,$∠EHD+$$∠AGE= 180^{\circ }$.

(1)求证:$AB// CD;$
(2)如图②,点M,N分别在直线AB,CD上,点P(不在直线EF上)是直线AB,CD之间一点,连接MN,PM,PN.若$PN// EF,$$PM⊥PN$,求$∠PMB+∠EHD$等于多少度;
(3)如图③,在(2)的条件下,MQ平分$∠AMN$交直线CD于点Q,PR平分$∠MPN$交MQ于点T,交直线CD于点R.若$∠AMN-2∠PND= 4^{\circ },∠PNM= $$60^{\circ }$,求$∠PTQ$的度数.

答案：

(1)因为 $ \angle EHD + \angle AGE = 180^{\circ} $，$ \angle AGE = \angle BGH $，所以 $ \angle EHD + \angle BGH = 180^{\circ} $，所以 $ AB // CD $。
(2)如图①，过点 P 作 $ PK // AB $，

所以 $ \angle PMB = \angle MPK $。因为 $ AB // CD $，$ PK // AB $，所以 $ PK // CD $，所以 $ \angle PND = \angle NPK $，所以 $ \angle MPN = \angle MPK + \angle NPK = \angle PMB + \angle PND $。因为 $ PM \perp PN $，所以 $ \angle MPN = 90^{\circ} $，所以 $ \angle PMB + \angle PND = 90^{\circ} $。因为 $ PN // EF $，所以 $ \angle EHD = \angle PND $，所以 $ \angle PMB + \angle EHD = 90^{\circ} $。
(3)如图②，过点 T 作 $ TW // MP $ 交 CD 于点 W，

所以 $ \angle PMT = \angle WTQ $，$ \angle MPT = \angle PTW $，设 $ \angle PND = \alpha $，则 $ \angle PMB = 90^{\circ} - \alpha $。因为 $ AB // CD $，所以 $ \angle AMN = \angle MND $。因为 $ \angle PNM = 60^{\circ} $，所以 $ \angle AMN = \angle MND = \angle PNM + \angle PND = 60^{\circ} + \alpha $。因为 $ \angle AMN - 2 \angle PND = 4^{\circ} $，所以 $ 60^{\circ} + \alpha - 2 \alpha = 4^{\circ} $，所以 $ \alpha = 56^{\circ} $，所以 $ \angle AMN = 116^{\circ} $，$ \angle PMB = 34^{\circ} $。因为 MQ 平分 $ \angle AMN $，PR 平分 $ \angle MPN $，所以 $ \angle AMT = \frac{1}{2} \angle AMN = 58^{\circ} $，$ \angle MPT = \frac{1}{2} \angle MPN = 45^{\circ} $，所以 $ \angle PMT = 180^{\circ} - \angle AMT - \angle PMB = 88^{\circ} $，所以 $ \angle PTQ = \angle PTW + \angle WTQ = \angle MPT + \angle PMT = 133^{\circ} $。