《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

19. 如图,已知$∠AOB= 90^{\circ },∠BOC= 30^{\circ }$,OM平分$∠AOC$,ON平分$∠BOC$.
(1)求$∠MON$的度数；45°
(2)如果已知$∠AOB= 80^{\circ }$,其他条件不变,求$∠MON$的度数；40°
(3)如果已知$∠BOC= 60^{\circ }$,其他条件不变,求$∠MON$的度数；45°
(4)从(1)(2)(3)中你能看出什么规律？∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小变化无关

答案：
(1) 因为OM平分∠AOC,所以∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC.又ON平分∠BOC,所以∠NOC = $\frac{1}{2}$∠BOC.所以∠MON = ∠MOC - ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB.而∠AOB = 90°,所以∠MON = 45°.
(2) 当∠AOB = 80°,其他条件不变时,∠MON = $\frac{1}{2}$×80° = 40°.
(3) 当∠BOC = 60°,其他条件不变时,∠MON = 45°.
(4) 分析
(1)
(2)
(3)的结果和
(1)的解答过程可知,∠MON的大小总等于∠AOB的一半,而与∠BOC的大小变化无关.

20. 如图①所示,$AB// CD$,根据平行线的性质可知内错角$∠B与∠C$相等,观察图②③与④,回答下列问题.
(1)如图②所示,$AB// CD$,试问$∠E+∠C与∠B+∠F$哪个大？请说明理由.
一样大.理由:如图,分别过点E,F作AB的平行线EM,FN;因为AB//CD,所以AB//CD//EM//NF,所以∠ABE = ∠BEM,∠MEF = ∠EFN,∠NFC = ∠FCD,所以∠BEF + ∠C = ∠B + ∠EFC,所以∠E + ∠C = ∠B + ∠F.
(2)如图③所示,$AB// CD$,试问$∠E+∠G+∠C与∠B+∠H+∠F$哪个大？(直接写出答案,不必说明理由)
∠E + ∠G + ∠C = ∠B + ∠H + ∠F.
(3)根据第(1)(2)题的结论,在图④中,若$AB// CD$,你又能得到什么结论？
∠E₁ + ∠E₂ +... + ∠Eₙ + ∠C = ∠F₁ + ∠F₂ +... + ∠Fₙ + ∠B(开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等).

答案：

(1) 一样大.理由:如图,分别过点E,F作AB的平行线EM,FN;因为AB//CD,所以AB//CD//EM//NF,所以∠ABE = ∠BEM,∠MEF = ∠EFN,∠NFC = ∠FCD,所以∠BEF + ∠C = ∠B + ∠EFC,所以∠E + ∠C = ∠B + ∠F.

(2) ∠E + ∠G + ∠C = ∠B + ∠H + ∠F.
(3) ∠E₁ + ∠E₂ +... + ∠Eₙ + ∠C = ∠F₁ + ∠F₂ +... + ∠Fₙ + ∠B(开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等).