《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

22. (6分)如图,点$O$是数轴的原点,点$A在数轴上表示的数为a$,点$B在数轴上表示的数为b$,且$a$,$b满足\vert a + 10\vert + (b - 2)^{2} = 0$.

(1)填空：$a = $$-10$,$b = $$2$.
(2)点$M从点A$出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴水平向右运动,同时点$N从点B$出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴水平向右运动,设运动时间为$t$s.
①当$MN = 10$时,求$t$的值.$t = 2$或$t = 22$
②点$C在数轴上点B$的右侧,表示的数是$x$,若点$M$,$N都运动到点C$的右侧；且点$M在点N$右侧时,无论$t取何值总有NC + MC = kMN$($k$为固定的常数)成立,求$k和x$的值.$k = 5$，$x = 26$

答案：
(1)$-10$ 2 解析：因为$|a + 10| + (b - 2)^2 = 0$，所以$a + 10 = 0$，$b - 2 = 0$，所以$a = -10$，$b = 2$；故答案为$-10$，2。
(2)①由题意，得点$M$表示的数为$-10 + 3t$，点$N$表示的数为$2 + 2t$，所以$|2 + 2t + 10 - 3t| = 10$，解得$t = 2$或$t = 22$。
②由题意，得$MC = -10 + 3t - x$，$NC = 2 + 2t - x$，$MN = -10 + 3t - 2 - 2t = t - 12$。因为$NC + MC = kMN$，所以$-10 + 3t - x + 2 + 2t - x = kt - 12k$，整理，得$(5 - k)t - 2x + 12k - 8 = 0$。因为无论$t$取何值总有$NC + MC = kMN$($k$为固定的常数)成立，所以$5 - k = 0$，所以$k = 5$，所以$-2x + 12×5 - 8 = 0$，所以$x = 26$。

23. (8分)小兵喜欢研究数学问题,在学习一元一次方程后,他给出一个新定义：若$x_{0}是关于x的一元一次方程ax + b = 0(a \neq 0)$的解,$y_{0}是关于y$的方程的所有解的其中一个解,且$x_{0}$,$y_{0}满足x_{0} + y_{0} = 10$,则称关于$y的方程为关于x$的一元一次方程的“十全十美方程”. 例如：一元一次方程$3x - 2x - 9 = 0的解是x_{0} = 9$,方程$y^{2} + 1 = 2的所有解是y = 1或y = -1$,当$y_{0} = 1$时,$x_{0} + y_{0} = 10$,所以$y^{2} + 1 = 2为一元一次方程3x - 2x - 9 = 0$的“十全十美方程”.
(1)判断下列关于$y的方程是否是一元一次方程3x - 2x - 8 = 0$的“十全十美方程”,在后面的横线上写“是”或“否”：
①$2y - 2 = 4$______否；
②$\vert y\vert = 2$______是.
(2)若关于$y的方程\vert y - 1\vert + 3 = 6是关于x的一元一次方程x - \frac{2x - 2a}{3} = a + 1$的“十全十美方程”,请求出$a$的值.3或9
(3)若关于$y的方程2m\vert y + 2\vert + \frac{m(y - 1)}{2} = 4m + n是关于x的一元一次方程mx + 2n = 3m$的“十全十美方程”,请直接写出$\frac{m + n}{n}$的值.$\frac{13}{17}$或$\frac{15}{19}$

答案：
(1)①否 ②是 解析：$3x - 2x - 8 = 0$的解为$x = 8$，即$x_0 = 8$。
①方程$2y - 2 = 4$的解是$y = 3$，即$y_0 = 3$，$x_0 + y_0 ≠ 10$，故$2y - 2 = 4$不是一元一次方程$3x - 2x - 8 = 0$的“十全十美方程”；
②方程$|y| = 2$的解是$y = 2$或$y = -2$，当$y_0 = 2$时，$x_0 + y_0 = 10$，$|y| = 2$是一元一次方程$3x - 2x - 8 = 0$的“十全十美方程”。故答案为①否；②是。
(2)方程$|y - 1| + 3 = 6$的解是$y = 4$或$y = -2$，
一元一次方程$x - \frac{2x - 2a}{3} = a + 1$的解是$x = a + 3$，即$x_0 = a + 3$，
若$y_0 = 4$，$x_0 + y_0 = 10$，则$a + 3 + 4 = 10$，解得$a = 3$；
若$y_0 = -2$，$x_0 + y_0 = 10$，则$a + 3 - 2 = 10$，解得$a = 9$；
所以$a$的值为3或9。
(3)$\frac{13}{17}$或$\frac{15}{19}$。解析：由$mx + 2n = 3m$，解得$x = \frac{3m - 2n}{m} = 3 - \frac{2n}{m}$，即$x_0 = 3 - \frac{2n}{m}$，因为$x_0 + y_0 = 10$，所以$y_0 = 10 - x_0 = 10 - 3 + \frac{2n}{m} = 7 + \frac{2n}{m}$，即$2m|y + 2| + \frac{m(y - 1)}{2} = 4m + n$的其中一个解是$y = 7 + \frac{2n}{m}$，所以$2m|7 + \frac{2n}{m} + 2| + \frac{m(7 + \frac{2n}{m} - 1)}{2} = 4m + n$，整理得$2m|9 + \frac{2n}{m}| = m$。因为分母$m$不能为0，所以$2|9 + \frac{2n}{m}| = 1$，所以$9 + \frac{2n}{m} = ±\frac{1}{2}$。
①当$9 + \frac{2n}{m} = \frac{1}{2}$时，$\frac{n}{m} = -\frac{17}{4}$，所以$\frac{m}{n} = -\frac{4}{17}$，$\frac{m + n}{n} = 1 + \frac{m}{n} = \frac{13}{17}$；
②当$9 + \frac{2n}{m} = -\frac{1}{2}$时，$\frac{n}{m} = -\frac{19}{4}$，所以$\frac{m}{n} = -\frac{4}{19}$，$\frac{m + n}{n} = 1 + \frac{m}{n} = \frac{15}{19}$；所以$\frac{m + n}{n}$的值为$\frac{13}{17}$或$\frac{15}{19}$。