《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

22. (6分)如图①,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC= 112°。将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方。
(1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由。
平分. 理由如下: 延长 NO 到 D. 因为 ∠MON = 90 °, 所以 ∠MOD = 90 °, 所以 ∠MOB + ∠NOB = 90 °, ∠MOC + ∠COD = 90 °. 因为 ∠MOB = ∠MOC, 所以 ∠NOB = ∠COD. 因为 ∠NOB = ∠AOD, 所以 ∠COD = ∠AOD, 所以直线 ON 平分 ∠AOC.
(2)将图①中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为多少？
14或59
(3)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由。
∠AOM - ∠NOC = 22 °. 理由如下:
因为 ∠AOM = 90 ° - ∠AON, ∠NOC = 68 ° - ∠AON, 所以 ∠AOM - ∠NOC = (90 ° - ∠AON) - (68 ° - ∠AON) = 22 °.

答案：

(1)平分. 理由如下: 延长 NO 到 D. 因为 $∠MON = 90 ^ { \circ }$, 所以 $∠MOD = 90 ^ { \circ }$, 所以 $∠MOB + ∠NOB = 90 ^ { \circ }$, $∠MOC + ∠COD = 90 ^ { \circ }$. 因为 $∠MOB = ∠MOC$, 所以 $∠NOB = ∠COD$. 因为 $∠NOB = ∠AOD$, 所以 $∠COD = ∠AOD$, 所以直线 ON 平分 $∠AOC$.
(2)分两种情况:
①如图①, 因为 $∠BOC = 112 ^ { \circ }$, 所以 $∠AOC = 68 ^ { \circ }$. 当直线 ON 恰好平分锐角 $∠AOC$ 时, $∠AOD = ∠COD = 34 ^ { \circ }$, 所以 $∠BON = 34 ^ { \circ }$, $∠BOM = 56 ^ { \circ }$, 即逆时针旋转的角度为 $56 ^ { \circ }$. 由题意得, $4t = 56$, 解得 $t = 14$.
　　　　　
②如图②, 当 ON 平分 $∠AOC$ 时, $∠NOA = 34 ^ { \circ }$, 所以 $∠AOM = 56 ^ { \circ }$, 即逆时针旋转的角度为 $180 ^ { \circ } + 56 ^ { \circ } = 236 ^ { \circ }$. 由题意得, $4t = 236$, 解得 $t = 59$.
综上所述, 当 $t = 14$ 或 59 时, 直线 ON 恰好平分锐角 $∠AOC$.
(3) $∠AOM - ∠NOC = 22 ^ { \circ }$. 理由如下:
因为 $∠AOM = 90 ^ { \circ } - ∠AON$, $∠NOC = 68 ^ { \circ } - ∠AON$, 所以 $∠AOM - ∠NOC = (90 ^ { \circ } - ∠AON) - (68 ^ { \circ } - ∠AON) = 22 ^ { \circ }$.

23. (6分)综合与探究。
(1)【基础巩固】如图①,已知∠AOB= 150°,∠BOC= 90°,OD,OE分别平分∠AOB和∠AOC,求∠DOE的度数。45°
(2)【探究发现】①如图①,若∠AOB= α,其他条件不变,求∠DOE的度数。45°
②如图②,若∠BOC= β,其他条件不变,求∠DOE的度数。$\frac{1}{2}\beta$
③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出。∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOC
(3)【拓展延伸】如图③,已∠AOB= α,∠COB= β,OC是∠AOB内的一条射线；当∠COE= $\frac{1}{2}$∠AOE,∠BOD= $\frac{1}{2}$∠AOD时,(2)中③得到的结论是否成立？若不成立,应有怎样的关系式？请说明理由。不成立，∠DOE=$\frac{2}{3}\beta$

答案：
(1)因为 $∠AOB = 150 ^ { \circ }$, $∠BOC = 90 ^ { \circ }$, OD, OE 分别平分 $∠AOB$ 和 $∠AOC$, 所以 $∠AOD = ∠BOD = \frac { 1 } { 2 }∠AOB = 75 ^ { \circ }$, $∠AOE = ∠COE = \frac { 1 } { 2 }∠AOC = \frac { 1 } { 2 }×(150 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ }) = 30 ^ { \circ }$, 所以 $∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = 75 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ }$.
(2)①若 $∠AOB = \alpha$, 其他条件不变,
因为 $∠AOB = \alpha$, $∠BOC = 90 ^ { \circ }$, OD, OE 分别平分 $∠AOB$ 和 $∠AOC$, 所以 $∠AOD = ∠BOD = \frac { 1 } { 2 }∠AOB = \frac { 1 } { 2 } \alpha$, $∠AOE = ∠COE = \frac { 1 } { 2 }∠AOC = \frac { 1 } { 2 } (\alpha - 90 ^ { \circ }) = \frac { 1 } { 2 } \alpha - 45 ^ { \circ }$, 所以 $∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = 45 ^ { \circ }$.
②若 $∠BOC = \beta$, 其他条件不变,
因为 $∠AOB = 150 ^ { \circ }$, $∠BOC = \beta$, OD, OE 分别平分 $∠AOB$ 和 $∠AOC$,
所以 $∠AOD = ∠BOD = \frac { 1 } { 2 }∠AOB = 75 ^ { \circ }$, $∠AOE = ∠COE = \frac { 1 } { 2 }∠AOC = \frac { 1 } { 2 } (150 ^ { \circ } - \beta )$,
所以 $∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = 75 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } (150 ^ { \circ } - \beta ) = \frac { 1 } { 2 } \beta$;
③通过①、②可以得到 $∠DOE = \frac { 1 } { 2 }∠BOC$.
(3)不成立. $∠DOE = \frac { 2 } { 3 } \beta$. 理由: 当 $∠AOB = \alpha$, $∠COB = \beta$, OC 是 $∠AOB$ 内的一条射线, $∠COE = \frac { 1 } { 2 }∠AOE$, $∠BOD = \frac { 1 } { 2 }∠AOD$ 时,
设 $∠COE = x$, $∠BOD = y$, 则 $∠AOE = 2x$, $∠AOC = 3x$, $∠AOD = 2y$, $∠COD = 2y - 3x$. 因为 $∠AOB = 2x + x + 2y - 3x + y = 3y = \alpha$, $∠COB = 2y - 3x + y = 3y - 3x = \alpha - 3x = \beta$, 所以 $y = \frac { 1 } { 3 } \alpha$, $x = \frac { \alpha - \beta } { 3 }$, 所以 $∠DOE = x + 2y - 3x = 2y - 2x = 2 · \frac { 1 } { 3 } \alpha - 2 · \frac { \alpha - \beta } { 3 } = \frac { 2 } { 3 } \beta$. 所以
(2) 中③得到的结论不成立; 应有关系式 $∠DOE = \frac { 2 } { 3 }∠COB = \frac { 2 } { 3 } \beta$.