《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学沪科版》

13. 已知 $ x + y = 1 $,那么 $ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $ 的值为1.

答案： 1

14. 已知一条直线上有 $ A,B,C $ 三点,线段 $ AB $ 的中点为 $ P,AB = 10 $,线段 $ BC $ 的中点为 $ Q $, $ BC = 6 $,则线段 $ PQ $ 的长为8 或 2.

答案： 8 或 2

15. 在数学活动中,小明为了求 $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + … + \frac{1}{2^n} $ 的值(结果用 $ n $ 表示),设计了如图所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + … + \frac{1}{2^n} $ 的值,为$ 1 - \frac{1}{2^{n}} $.

答案： $ 1 - \frac{1}{2^{n}} $

16. 要使输出值 $ y $ 大于 100,则输入的最小正整数 $ x $ 是21.

答案： 21 解析:若 x 为偶数,根据题意,得 $ x×4 + 4 ＞ 100 $,解得 $ x ＞ 24 $,所以此时 x 的最小整数值为 26;若 x 为奇数,根据题意,得 $ x×5 ＞ 100 $,解得 $ x ＞ 20 $,所以此时 x 的最小整数值为 21.故输入的最小正整数为 21.

17. 如果点 $ A,B $ 在数轴上表示的数分别是 $ a,b $,且 $ |a| = 3,|b| = 1 $,试确定 $ A,B $ 两点之间的距离.
因为 $ |a| = 3,|b| = 1 $,所以 $ a = ±3,b = ±1 $,所以 A,B 两点之间的距离为 $ 3 - 1 = 2 $ 或 $ -1 - (-3) = 2 $ 或 $ 3 - (-1) = 4 $ 或 $ 1 - (-3) = 4 $.

答案： 因为 $ |a| = 3,|b| = 1 $,所以 $ a = ±3,b = ±1 $,所以 A,B 两点之间的距离为 $ 3 - 1 = 2 $ 或 $ -1 - (-3) = 2 $ 或 $ 3 - (-1) = 4 $ 或 $ 1 - (-3) = 4 $.

18. 如图,已知 $ OB,OC $ 是 $ \angle AOD $ 内部的两条射线,$ ON $ 平分 $ \angle COD $, $ OM $ 平分 $ \angle AOB $,若 $ \angle AOD = \alpha, \angle MON = \beta $,求 $ \angle BOC $ 的大小(用含 $ \alpha, \beta $ 的式子表示).

$2\beta -\alpha$

答案： 设 $ ∠BOC = x $.
因为 OM 平分 $ ∠AOB $,ON 平分 $ ∠COD $,所以 $ ∠AOM = \frac{1}{2}∠AOB,∠DON = \frac{1}{2}∠COD $. 又 $ ∠AOB + ∠COD = ∠AOD - ∠BOC = α - x $, 所以 $ ∠AOM + ∠DON = \frac{1}{2}∠AOB + \frac{1}{2}∠COD = \frac{1}{2}(α - x) $. 又 $ ∠AOM + ∠DON = ∠AOD - ∠MON = α - β $,所以 $ \frac{1}{2}(α - x) = α - β $,解这个关于 x 的方程得 $ x = 2β - α $,即 $ ∠BOC = 2β - α $.

19. 两个正方形 $ ABCD,AEFG $ 如图摆放,边长分别为 $ x,y $.若 $ x^2 + y^2 = 34,BE = 2 $,求图中阴影部分面积和.

8

答案： 因为 $ AD = AB,AG = AE $,所以 $ AD - AG = AB - AE $,即 $ DG = BE = 2 $,所以 $ S_{阴影} = S_{△CDF} + S_{△BEF} = \frac{1}{2}CD·DG + \frac{1}{2}BE·EF = \frac{1}{2}×2x + \frac{1}{2}×2y = x + y $. 因为 $ x - y = 2 $,所以 $ (x - y)^{2} = 4 $. 因为 $ (x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2},x^{2} + y^{2} = 34 $,所以 $ 34 - 2xy = 4 $,所以 $ 2xy = 30 $,所以 $ (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} = 34 + 30 = 64 $,所以 $ x + y = 8 $,所以图中阴影部分面积和为 8.