《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

12. 如图,图①中有 1 个三角形,图②中共有 5 个三角形,图③中共有 9 个三角形,以此类推,则图ⓝ中共有______个三角形。

答案： $(4n - 3)$

13. 在△ABC 中,AB= AC,AD 是△ABC 的中线,△ABC 的周长为 34,△ABD 的周长为 30,求 AD 的长。

答案： 因为 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，所以 $BD = DC=\frac{1}{2}BC$。因为 $AB + BC + AC = 34$，$AB = AC$，所以 $2AB + 2BD = 34$，即 $AB + BD = 17$。又 $AB + BD + AD = 30$，所以 $17 + AD = 30$，所以 $AD = 13$。

14. 如图,△ABC 中,AD 是高,AE,BF 是角平分线,它们相交于点 O,∠CAB= 50°,∠C= 60°,求∠DAE 和∠BOA 的度数。

答案： 因为 $\angle CAB = 50^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，所以 $\angle ABC = 180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$。又因为 $AD$ 是高，所以 $\angle ADC = 90^{\circ}$，所以 $\angle DAC = 180^{\circ}-90^{\circ}-\angle C = 30^{\circ}$。因为 $AE$，$BF$ 是角平分线，所以 $\angle CBF = \angle ABF = 35^{\circ}$，$\angle EAF = 25^{\circ}$，所以 $\angle DAE = \angle DAC - \angle EAF = 5^{\circ}$。$\angle BOA = 180^{\circ}-\angle EAB-\angle ABO = 180^{\circ}-25^{\circ}-35^{\circ}=120^{\circ}$。

15. 已知 a,b,c 分别是△ABC 的边长,化简：|a - b + c| + |c - a - b| - |b + c - a|。

答案： 因为 $a$，$b$，$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的边长，所以 $a - b + c＞0$，$c - a - b＜0$，$b + c - a＞0$，所以 $|a - b + c|+|c - a - b|-|b + c - a|=a - b + c - c + a + b - b - c + a = 3a - b - c$。

16. 如图,已知△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线。求证：AD + BD ＞ $\frac{1}{2}(AB + AC)$。

答案： 因为 $BD + AD＞AB$，$CD + AD＞AC$，所以 $BD + AD + CD + AD＞AB + AC$。因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，所以 $BD = CD$，所以 $AD + BD＞\frac{1}{2}(AB + AC)$。