《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

19. 商场计划拨款$9$万元,从厂家购进$50$台电视机。已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电视机,出厂价分别为$1500$元/台,$2100$元/台,$2500$元/台。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共$50$台,用去$9$万元,请你研究一下商场的进货方案。
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利$150$元,销售一台乙种电视机可获利$200$元,销售一台丙种电视机可获利$250$元。在同时购进两种不同型号的电视机的方案中,为使销售时获利最多,应选择哪种进货方案？

答案：
(1) ①设商场购进甲种电视机 $ x $ 台，乙种电视机 $ y $ 台，
根据题意，得 $ \begin{cases} x + y = 50, \\ 1500x + 2100y = 90000, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 25, \\ y = 25, \end{cases} $ 故第一种进货方案是购进甲、乙两种型号的电视机各 25 台；
②设购进甲种电视机 $ x' $ 台，丙种电视机 $ z $ 台。
根据题意，得 $ \begin{cases} x' + z = 50, \\ 1500x' + 2500z = 90000, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x' = 35, \\ z = 15, \end{cases} $
故第二种进货方案是购进甲种电视机 35 台，丙种电视机 15 台；
③设购进乙种电视机 $ y' $ 台，丙种电视机 $ z' $ 台，
根据题意，得 $ \begin{cases} y' + z' = 50, \\ 2100y' + 2500z' = 90000, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} y' = 87.5, \\ z' = -37.5, \end{cases} $
不合题意，舍去，故此种方案不可行。
(2) 上述的第一种方案可获利 $ 150 \times 25 + 200 \times 25 = 8750 $ (元)，第二种方案可获利 $ 150 \times 35 + 250 \times 15 = 9000 $ (元)，而 $ 8750 ＜ 9000 $，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电视机 35 台，丙种电视机 15 台。

20. 如图①,点$A$,$O$,$B依次在直线MN$上,现将射线$OA绕点O沿顺时针方向以每秒4^{\circ}$的速度转动,同时射线$OB绕点O沿逆时针方向以每秒6^{\circ}$的速度转动,直线$MN$保持不动,如图②,设转动时间为$t(0\leqslant t\leqslant 60)$秒。
(1)当$t = 5$时,求$∠AOB$的度数。
(2)在转动过程中,当$∠AOB第二次达到60^{\circ}$时,求$t$的值。
(3)在转动过程中是否存在这样的$t$,使得射线$OB与射线OA$垂直？如果存在,请求出$t$的值；如果不存在,请说明理由。

答案：

(1) 当 $ t = 5 $ 时，$ \angle AOM = 4^{\circ} \times 5 = 20^{\circ} $，$ \angle BON = 6^{\circ} \times 5 = 30^{\circ} $，所以 $ \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOM - \angle BON = 130^{\circ} $。
(2) 由题意可知，$ \angle AOM = (4t)^{\circ} $，$ \angle BON = (6t)^{\circ} $，
如图①，当 $ \angle AOB $ 第二次达到 $ 60^{\circ} $ 时，此时 $ \angle AOM + \angle BON - \angle AOB = 180^{\circ} $，所以 $ 4t + 6t - 60 = 180 $，解得 $ t = 24 $，即 $ t = 24 $ 时，$ \angle AOB $ 第二次达到 $ 60^{\circ} $。
　　　
(3) 存在，$ t = 9, 27 $ 或 45 解析：由题意可知，$ \angle AOM = (4t)^{\circ} $，$ \angle BON = (6t)^{\circ} $。因为 $ OB \perp OA $，所以 $ \angle AOB = 90^{\circ} $。
①如图②，当 $ 0 \leq t \leq 18 $ 时，此时，$ \angle AOB + \angle AOM + \angle BON = 180^{\circ} $，所以 $ 90 + 4t + 6t = 180 $，解得 $ t = 9 $。
②如图③，当 $ 18 ＜ t \leq 36 $ 时，此时，$ \angle AOM + \angle BON - \angle AOB = 180^{\circ} $，
所以 $ 4t + 6t - 90 = 180 $，解得 $ t = 27 $。
　　　
③如图④，当 $ 36 ＜ t \leq 60 $ 时，此时，$ \angle AOM + \angle BON - 180^{\circ} = 360^{\circ} - \angle AOB $，
所以 $ 4t + 6t - 180 = 360 - 90 $，解得 $ t = 45 $。
④当 $ OB $ 在直线 $ MN $ 下方，且 $ OB $ 在 $ OA $ 右侧时，由题意得 $ 4t + 6t = 360 \times 2 - 90 $，解得 $ t = 63 ＞ 60 $，不合题意，舍去。综上可知，当 $ t = 9, 27 $ 或 45 时，射线 $ OA $ 与射线 $ OB $ 垂直。