《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

16. 定义：形如 $ a+b \mathrm{i} $ 的数称为复数(其中 $ a $ 和 $ b $ 为实数,$ \mathrm{i} $ 为虚数单位,规定 $ \mathrm{i}^{2}= -1 $),$ a $ 称为复数的实部,$ b $ 称为复数的虚部。复数可以进行四则运算。例如 $ (1+3 \mathrm{i})^{2}= 1^{2}+2 × 1 × 3 \mathrm{i}+(3 \mathrm{i})^{2}= 1+6 \mathrm{i}+9 \mathrm{i}^{2}= 1+6 \mathrm{i}-9= -8+6 \mathrm{i} $,因此 $ (1+3 \mathrm{i})^{2} $ 的实部是 -8,虚部是 6。已知复数 $ (3-m \mathrm{i})^{2} $ 的虚部是 12,则实部是______。

答案： 5

17. (12分)计算：
(1)$ |-3|-(\sqrt{5}-\pi)^{0}+\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}+(-1)^{3} $；
(2)$ 2 x^{2} \cdot 3 x^{4}-\left(2 x^{3}\right)^{2}-x^{8} ÷ x^{2} $；
(3)$ (a+3)^{2}+a(2-a) $；
(4)$ (x+3)^{2}-(x-1)(x-2) $；
(5)$ \left[(x-y)^{2}-(x+y)(x-y)\right] ÷(-2 y) $；
(6)$ 123^{2}-122 × 124 $(运用乘法公式简便计算)。

答案：
(1) 原式 $=3 - 1 + 4 - 1 = 5$.
(2) 原式 $=6x^{6}-4x^{6}-x^{6}=x^{6}$.
(3) 原式 $=a^{2}+6a+9+2a - a^{2}=8a + 9$.
(4) 原式 $=x^{2}+6x+9-(x^{2}-3x+2)=9x + 7$.
(5) 原式 $=(x^{2}-2xy+y^{2}-x^{2}+y^{2})÷(-2y)=(2y^{2}-2xy)÷(-2y)=x - y$.
(6) 原式 $=123^{2}-(123 - 1)×(123 + 1)=123^{2}-123^{2}+1 = 1$.

18. (8分)化简求值：
(1)已知 $ \left\{\begin{array}{l}x= 2, \\ y= \sqrt{3}\end{array}\right. $ 是关于 $ x, y $ 的二元一次方程 $ \sqrt{3} x= y+a $ 的解,求 $ (a+1)(a-1)+7 $ 的值。
(2)先化简,再求值：$ \left(4 a b^{3}-8 a^{2} b^{2}\right) ÷ 4 a b+(2 a+b)(2 a-b) $,其中 $ a= 2, b= 1 $。

答案：
(1) 将 $x = 2,y=\sqrt{3}$ 代入 $\sqrt{3}x = y + a$ 中，得 $a=\sqrt{3}$，所以 $(a + 1)(a - 1)+7=a^{2}-1 + 7=a^{2}+6 = 9$.
(2) 原式 $=[4ab·(b^{2}-2ab)]÷4ab + 4a^{2}-b^{2}=b^{2}-2ab+4a^{2}-b^{2}=4a^{2}-2ab$. 当 $a = 2,b = 1$ 时，原式 $=4×2^{2}-2×2×1 = 16 - 4 = 12$.

19. (6分)已知 $ (x+y)^{2}= 13,(x-y)^{2}= 9 $,求 $ x^{2}+y^{2} $ 与 $ x y $ 的值。

答案： $(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy = 13$，①
$(x - y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy = 9$，②
① + ②，得 $2(x^{2}+y^{2}) = 22$，所以 $x^{2}+y^{2}=11$.
① - ②，得 $4xy = 4$，所以 $xy = 1$.