《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

14. 观察下图(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律：

(1)写出第5个等式,并画出与之对应的图形；
(2)猜想并写出与第$n$个图形相对应的等式.

答案：

(1)第5个等式为$5×\frac{5}{6}=5-\frac{5}{6}$，与之对应的图形如图所示.
　　　　　　
(2)$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$.

15. 下列是由同型号黑、白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形.

仔细观察图形可知：
图①有1块黑色的瓷砖,用式子可表示为$1= \frac{(1 + 1)×1}{2}$；
图②有3块黑色的瓷砖,用式子可表示为$1 + 2= \frac{(1 + 2)×2}{2}$；
图③有6块黑色的瓷砖,用式子可表示为$1 + 2 + 3= \frac{(1 + 3)×3}{2}$.
(1)请画出第4个图形(只需画出草图).
(2)第10个图形有多少块黑色的瓷砖？第$n$个图形呢？

答案：
(1)图略
(2)第10个图形有$\frac{1}{2}×10×11=55$（块）黑色的瓷砖；第n个图形有$\frac{(1+n)×n}{2}$（n为正整数）块黑色的瓷砖.