《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

20. (10分)先阅读下列解题过程,然后完成后面的题目。
分解因式：$ x^{4} + 4 $。
解：$ x^{4} + 4 = x^{4} + 4x^{2} + 4 - 4x^{2} $
$ = (x^{2} + 2)^{2} - 4x^{2} $
$ = (x^{2} + 2x + 2)(x^{2} - 2x + 2) $。
以上解法中,在 $ x^{4} + 4 $ 的中间加上一项,使得三项组成一个完全平方式,为了使这个式子的值与 $ x^{4} + 4 $ 的值保持不变,必须减去同样的一项。按照这个思路,试把多项式 $ x^{4} + x^{2}y^{4} + y^{8} $ 因式分解。

答案： $x^{4}+x^{2}y^{4}+y^{8}=x^{4}+2x^{2}y^{4}+y^{8}-x^{2}y^{4}=(x^{2}+y^{4})^{2}-x^{2}y^{4}=(x^{2}+y^{4}-xy^{2})(x^{2}+y^{4}+xy^{2})$。

21. (15分)观察等式,回答问题：
$ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} $
$ = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] $
$ = (1 + x)^{2}(1 + x) $
$ = (1 + x)^{3} $。
(1)上述分解因式的方法是______,共应用了______次；
(2)若分解因式 $ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{100} $,则需应用上述方法______次,结果是______；
(3)分解因式：$ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + … + x(x + 1)^{n} $。

答案：
(1)提取公因式法 2
(2)100 $(1+x)^{101}$
(3)$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+... +x(x+1)^{n}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+... +x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^{2}[1+x+x(1+x)+... +x(1+x)^{n-2}]$
...
$=(1+x)^{n+1}$。