《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

20. (6分)甲、乙两人共同计算一道整式乘法：$ (2 x+a)(3 x+b) $,由于甲抄错了第一个多项式中 $ a $ 前面的符号,得到的结果为 $ 6 x^{2}+18 x+12 $；由于乙漏抄了第二个多项式中的 $ x $ 的系数,得到的结果为 $ 2 x^{2}+2 x-12 $,请你计算出 $ a, b $ 的值各是多少,并写出这道整式乘法的正确结果。

答案： 由题意得 $(2x - a)(3x + b)=6x^{2}+(2b - 3a)x - ab = 6x^{2}+18x + 12$，
所以 $2b - 3a = 18$，①
$(2x + a)(x + b)=2x^{2}+(2b + a)x + ab = 2x^{2}+2x - 12$，
所以 $2b + a = 2$，②
② - ①，得 $4a = - 16$，即 $a = - 4$.
把 $a = - 4$ 代入②，得 $b = 3$，
则正确结果为 $(2x - 4)(3x + 3)=6x^{2}-6x - 12$.

21. (10分)观察下列算式：
① $ 1 × 3-2^{2}= 3-4= -1 $；
② $ 2 × 4-3^{2}= 8-9= -1 $；
③ $ 3 × 5-4^{2}= 15-16= -1 $；
④______；
…
(1)请你按以上规律写出第4个算式。
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来。
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？说明理由。

答案：
(1) $4×6 - 5^{2}=24 - 25 = - 1$
(2) 答案不唯一，如：$n(n + 2)-(n + 1)^{2}=-1$（$n$ 为正整数）.
(3) 一定成立. 理由：$n(n + 2)-(n + 1)^{2}=n^{2}+2n-(n^{2}+2n + 1)=n^{2}+2n - n^{2}-2n - 1=-1$.

22. (10分)【阅读理解】我们常将一些公式变形,以简化运算过程。如：把公式“$ (a+b)^{2}= a^{2}+2 a b+b^{2} $”变形成 $ a^{2}+b^{2}= (a+b)^{2}-2 a b $ 或 $ 2 a b= (a+b)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right) $ 等形式,运用于下面这个问题的解答：
问题：若 $ x $ 满足 $ (20-x)(x-30)= 10 $,求 $ (20-x)^{2}+(x-30)^{2} $ 的值。
我们可以作如下解答：设 $ a= 20-x, b= x-30 $,则 $ (20-x)(x-30)= a b= 10, a+b= (20-x)+(x-30)= 20-30= -10 $。所以 $ (20-x)^{2}+(x-30)^{2}= a^{2}+b^{2}= (a+b)^{2}-2 a b= (-10)^{2}-2 × 10= 80 $。
【理解应用】
(1)若 $ x $ 满足 $ (80-x)(x-70)= -10 $,则 $ (80-x)^{2}+(x-70)^{2} $ 的值为______。
【能力提升】
(2)如图,将正方形 $ EFGH $ 叠放在正方形 $ A B C D $ 上,重叠部分 $ L F K D $ 是一个长方形,$ A L= 8, C K= 12 $。沿着 $ L D, K D $ 所在直线将正方形 $ EFGH $ 分割成四个部分,若四边形 $ E L D N $ 和四边形 $ D K G M $ 恰好为正方形,且它们的面积之和为 400,求长方形 $ N D M H $ 的面积。

答案：
(1) 120 解析：设 $a = 80 - x,b = x - 70$，则 $ab = - 10,a + b = 80 - x + x - 70 = 10$，所以 $(80 - x)^{2}+(x - 70)^{2}$ 的值为 $a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 100 + 20 = 120$.
(2) 设 $LD = a,DK = b$，则 $AD = 8 + a,DC = b + 12$。由题意知，$8 + a = b + 12,a^{2}+b^{2}=400$。所以 $a - b = 4$，所以 $(a - b)^{2}+2ab = a^{2}+b^{2}$。所以 $4^{2}+2ab = 400$，即 $ab = 192$。所以长方形 $NDMH$ 的面积为 $ab = 192$.