《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

20. (8分)解方程组：
(1)$\begin{cases}3x-2y= 6,\\2x+3y= 17;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+4y= 14,\\\frac{x-3}{4}-\frac{y-3}{3}= \frac{1}{12}.\end{cases}$

答案：
(1) $\begin{cases}3x - 2y = 6, & ①\\2x + 3y = 17, & ②\end{cases}$
$①×2$，得 $6x - 4y = 12$，③
$②×3$，得 $6x + 9y = 51$，④
$④ - ③$，得 $13y = 39$，解得 $y = 3$，
将 $y = 3$ 代入①，得 $3x - 2×3 = 6$，解得 $x = 4$。
故原方程组的解为 $\begin{cases}x = 4,\\y = 3.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + 4y = 14, & ①\\\frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}, & ②\end{cases}$
方程②两边同时乘 12，得 $3(x - 3) - 4(y - 3) = 1$，
化简，得 $3x - 4y = -2$，③
$① + ③$，得 $4x = 12$，解得 $x = 3$。
将 $x = 3$ 代入①，得 $3 + 4y = 14$，解得 $y = \frac{11}{4}$。
故原方程组的解为 $\begin{cases}x = 3,\\y = \frac{11}{4}.\end{cases}$

21. (8分)解方程：$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-1}= \frac{6}{x^{2}-1}$。

答案： 方程两边同乘 $(x + 1)(x - 1)$，
得 $2(x - 1) - 3(x + 1) = 6$，
所以 $2x - 2 - 3x - 3 = 6$，
所以 $x = -11$。
经检验，$x = -11$ 是原方程的根。

22. (6分)先化简,再求值：$(\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}-\frac{1}{1-x})÷(\frac{x^{2}+3x}{x-1}-1)$,其中$x= 2$。

答案： 原式 $= \left[\frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{1}{x - 1}\right] ÷ \frac{x^2 + 3x - x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x + 1}$，所以当 $x = 2$ 时，原式 $= \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$。

23. (12分)某货运公司现有货物31吨,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完全部货物,且每辆车均为满载。已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨。
根据以上信息,解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别运货多少吨？
(2)请帮货运公司设计租车方案。
(3)若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次。请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费用。

答案：
(1) 设 1 辆 A 型车载满货物一次运货 $x$ 吨，1 辆 B 型车载满货物一次运货 $y$ 吨，
由题意得 $\begin{cases}2x + y = 10,\\x + 2y = 11,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}$
所以 1 辆 A 型车载满货物一次运货 3 吨，1 辆 B 型车载满货物一次运货 4 吨。
(2) $3a + 4b = 31$，$a = \frac{31 - 4b}{3}$。
因为 $a$，$b$ 只能取整数，
所以有 $\begin{cases}a = 9,\\b = 1,\end{cases}$ $\begin{cases}a = 5,\\b = 4,\end{cases}$ $\begin{cases}a = 1,\\b = 7,\end{cases}$ 共三种方案。
即方案一：租用 A 型车 9 辆，B 型车 1 辆；方案二：租用 A 型车 5 辆，B 型车 4 辆；方案三：租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆。
(3) $9×100 + 1×120 = 1020$（元）；
$5×100 + 4×120 = 980$（元）；
$1×100 + 120×7 = 940$（元），
所以最省钱的租车方案为租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆，最少租车费用为 940 元。