《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

21.(10分)干挑面是长兴美食的一张名片,某面馆推出两款经典美食干挑面,一款是色香味俱全的“海鲜干挑面”,另一款是清香四溢的“排骨干挑面”.已知2份“海鲜干挑面”和1份“排骨干挑面”需68元;1份“海鲜干挑面”和2份“排骨干挑面”需61元.
(1)求“海鲜干挑面”和“排骨干挑面”的单价;
(2)猪油是两款美食必不可少的配料,该面馆老板发现本月的猪油每千克价格比上个月涨了25%,同样花240元买到的猪油数量比上个月少了2千克,求本月猪油的价格.

答案：
(1)设“海鲜干挑面”的单价为$x$元，“排骨干挑面”的单价为$y$元，
由题意得$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=68,\\ x+2y=61,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=25,\\ y=18.\end{array}\right. $
答：“海鲜干挑面”的单价为 25 元，“排骨干挑面”的单价为 18 元。
(2)设上个月猪油的价格为$m$元/千克，则本月猪油的价格为$(1+25\% )m$元/千克，
由题意得$\frac {240}{m}-\frac {240}{(1+25\% )m}=2$，解得$m=24$，
经检验，$m=24$是原方程的解，且符合题意，
所以$(1+25\% )m=(1+25\% )×24=30$（元/千克）。
答：本月猪油的价格为 30 元/千克。

22.(12分)用数学的眼光观察:
同学们,在学习中,你会发现“$x+\frac{1}{x}$”与“$x-\frac{1}{x}$”有着紧密的联系,请你认真观察等式:
$(x+\frac{1}{x})^2= x^2+2+\frac{1}{x^2}$,$(x-\frac{1}{x})^2= x^2-2+\frac{1}{x^2}$.
用数学的思维思考并解决如下问题:
(1)填空:$(a+\frac{1}{a})^2-(a-\frac{1}{a})^2= $______.
(2)计算:
①若$(a+\frac{1}{a})^2= 20$,求$a-\frac{1}{a}$的值;
②若$a^2+a-1= 0$,求$a+\frac{1}{a}$的值;
③已知$|\frac{1}{a}-a|= 1$,求$|\frac{1}{a}+a|$的值.

答案：
(1)4 解析：$(a+\frac {1}{a})^{2}-(a-\frac {1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac {1}{a^{2}}-(a^{2}-2+\frac {1}{a^{2}})=a^{2}+2+\frac {1}{a^{2}}-a^{2}+2-\frac {1}{a^{2}}=4$。
(2)①因为$(a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=20-4=16$，所以$a-\frac {1}{a}=\pm 4$。
②将$a^{2}+a-1=0$两边都除以$a$，得$a-\frac {1}{a}=-1$，所以$(a+\frac {1}{a})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}+4=(-1)^{2}+4=5$，所以$a+\frac {1}{a}=\pm \sqrt {5}$。
③当$\frac {1}{a}＞0$时，此时$a＞0$，则$|\frac {1}{a}|-a=\frac {1}{a}-a=1$，得$a-\frac {1}{a}=-1$。因为$(a+\frac {1}{a})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}+4=(-1)^{2}+4=5$，所以$a+\frac {1}{a}=\pm \sqrt {5}$。因为$a＞0$，所以$a+\frac {1}{a}=\sqrt {5}$，所以$|\frac {1}{a}|+a=\frac {1}{a}+a=\sqrt {5}$；当$\frac {1}{a}＜0$时，此时$a＜0$，则$|\frac {1}{a}|-a=-\frac {1}{a}-a=1$，得$a+\frac {1}{a}=-1$。因为$(a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=(-1)^{2}-4=-3＜0$，故舍去。综上，$|\frac {1}{a}|+a$的值为$\sqrt {5}$。