《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

20. (10分)试验与探究：我们知道分数$\frac{1}{3}写成小数即为0.\dot{3}$,反之,无限循环小数$0.\dot{3}写成分数即为\frac{1}{3}$。一般地,任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式。现在就以$0.\dot{7}$为例进行讨论：设$0.\dot{7} = x$,由$0.\dot{7} = 0.7777…$,可知$10x - x = 7.777… - 0.7777… = 7$,即$10x - x = 7$,解方程得$x = \frac{7}{9}$,于是得$0.\dot{7} = \frac{7}{9}$。
请仿照上述例题完成下列各题：
(1)请你把无限循环小数$0.\dot{5}$写成分数；
(2)请你把无限循环小数$0.\dot{7}\dot{3}$写成分数。

答案：
(1)设 $ 0.\dot{5} = x $,由 $ 0.\dot{5} = 0.5555\cdots $,可知
$ 10x - x = 5.555\cdots - 0.5555\cdots = 5 $,即 $ 10x - x = 5 $,
解方程得 $ x = \frac{5}{9} $,于是得 $ 0.\dot{5} = \frac{5}{9} $.
(2)设 $ 0.\dot{7}\dot{3} = x $,由 $ 0.\dot{7}\dot{3} = 0.73737373\cdots $,可知
$ 100x - x = 73.7373\cdots - 0.737373\cdots = 73 $,即 $ 100x - x = 73 $,解方程得 $ x = \frac{73}{99} $,于是得 $ 0.\dot{7}\dot{3} = \frac{73}{99} $.

21. (10分)某品牌扫地机数据如表(开始工作时,已完成充电)。

小铭记录了该品牌扫地机的工作情况,如表。

(1)设一档、二档扫地速度分别为$a$平方米/分钟,$b$平方米/分钟,求$a$,$b$的值；
(2)设扫地速度为一档时的最长连续工作时间为$t$分钟,求$t$的值；
(3)若扫地机工作100分钟,求它完成的扫地面积。

答案：
(1)因为 $ 8.75÷5 = 1.75 $ (平方米/分钟), $ 28÷16 = 1.75 $ (平方米/分钟), $ 49÷28 = 1.75 $ (平方米/分钟), $ 78.75÷50 = 1.575 $ (平方米/分钟),所以一档和二档切换时间在第 28 分钟和第 50 分钟之间,所以 $ a = 1.75 $, $ (57 - 52)b = 84.875 - 80.5 $,所以 $ b = 0.875 $.
答: $ a $ 的值为 1.75, $ b $ 的值为 0.875.
(2)由题意得 $ 1.75t + 0.875(50 - t) = 78.75 $,
解得 $ t = 40 $.
答: $ t $ 的值为 40.
(3)由题意可知,在前 40 分钟时,扫地机的速度为第一档;在 40 分钟到 60 分钟时,扫地机的速度为第二档;在 60 分钟到 90 分钟时,扫地机回充;在 90 分钟到 100 分钟时,扫地机的速度为第一档,
所以 $ 1.75×(40 + 10) + 0.875×(60 - 40) = 105 $ (平方米).
答:它完成的扫地面积为 105 平方米.