《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

20. 将同样大小的小长方形纸片(小长方形纸片的长为 $a$,宽为 $b$)拼成如图所示的大长方形,请你仔细观察图形,解答下列问题.
(1)$a$ 与 $b$ 有怎样的关系？
(2)图中阴影部分的面积是大长方形面积的几分之几？
(3)请你仔细观察图中的一个阴影部分,根据它面积的不同表示方法写出含字母 $a$,$b$ 的一个等式.

答案：
(1) $4a = 3b + 3a$，即 $a = 3b$。
(2) $\frac{3(a - b)^{2}}{4a(a + 3b)} = \frac{3(3b - b)^{2}}{4 \times 3b(3b + 3b)} = \frac{3 \times 4b^{2}}{4 \times 3b \times 6b} = \frac{1}{6}$。
(3) $(a + b)^{2} - 4ab = (a - b)^{2}$。

21. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图所示,这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了 $(a + b)^{n}$($n$ 为正整数)的展开式(按 $a$ 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应 $(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$ 展开式中的系数；第四行的四个数 1,3,3,1,恰好对应着 $(a + b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$ 展开式中的系数.

(1)根据上面的规律,写出 $(a + b)^{5}$ 的展开式；
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$；
(3)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三,再过 7 天还是星期三,那么再过 $8^{14}$ 天是星期______.

答案：
(1) $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$。
(2) 原式 $= 2^{5} + 5 \times 2^{4} \times (-1) + 10 \times 2^{3} \times (-1)^{2} + 10 \times 2^{2} \times (-1)^{3} + 5 \times 2 \times (-1)^{4} + (-1)^{5} = (2 - 1)^{5} = 1$。
(3) 四 解析：因为 $8^{14} = (7 + 1)^{14} = 7^{14} + 14 \times 7^{13} + 91 \times 7^{12} + \cdots + 14 \times 7 + 1$，所以 $8^{14}$ 除以 7 的余数为 1，所以假如今天是星期三，那么再过 $8^{14}$ 天是星期四。