《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学浙教版》

13. 若 $ a - b = 1 $,则代数式 $ a^{2} - b^{2} - 2b $ 的值为______。

答案： 1

14. $ m $,$ n $ 满足 $ |m + 2| + \sqrt{n - 4} = 0 $,因式分解：$ (x^{2} + y^{2}) - (mxy + n) = $______。

答案： $(x+y+2)(x+y-2)$

15. 甲、乙两个同学分解因式 $ x^{2} + ax + b $ 时,甲看错了 $ b $,分解结果为 $ (x + 2)(x + 4) $；乙看错了 $ a $,分解结果为 $ (x + 1)(x + 9) $,则 $ a + b = $______。

答案： 15 解析：分解因式$x^{2}+ax+b$，甲看错了$b$，但$a$是正确的，分解结果为$(x+2)(x+4)=x^{2}+6x+8$，所以$a=6$。同理，乙看错了$a$，分解结果为$(x+1)(x+9)=x^{2}+10x+9$，所以$b=9$，因此$a+b=15$。

16. 若一个整数能表示成 $ a^{2} + b^{2} $($ a $,$ b $ 是整数)的形式,则称这个数为“平方和数”。
例如：$ \because 5 = 2^{2} + 1^{2} $,$ \therefore 5 $ 是一个“平方和数”。
(1)请你再写一个大于10且小于20的“平方和数”：______；
(2)已知 $ M $ 是一个“平方和数”,且 $ M = x^{2} + 4xy + 5y^{2} - 12y + k $($ x $,$ y $ 是两个任意整数,$ k $ 是常数),则 $ k $ 的值为______。

答案：
(1)13 或 17 解析：因为$13=2^{2}+3^{2}$，$17=1^{2}+4^{2}$，所以 13、17 是“平方和数”。
(2)36 解析：因为$M=x^{2}+4xy+5y^{2}-12y+k=(x+2y)^{2}+(y-6)^{2}+k-36$，所以$k-36=0$，即$k=36$时，$M$是一个“平方和数”。

17. (9分)把下列各式因式分解：
(1)$ a^{2}(a - 3) - a + 3 $；
(2)$ 2xy - x^{2} - y^{2} + 1 $；
(3)$ (m - n)^{3} + (n - m)m^{2} $。

答案：
(1)$(a-3)(a+1)(a-1)$。
(2)$(1+x-y)(1-x+y)$。
(3)$n(m-n)(n-2m)$。

18. (8分)已知 $ a + b = 10 $,$ ab = - 8 $,求下列各式的值。
(1)$ a^{2} + b^{2} $；
(2)$ a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} $。

答案：
(1)因为$a+b=10$，$ab=-8$，所以$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=10^{2}-2×(-8)=100+16=116$。
(2)因为$a+b=10$，$ab=-8$，所以$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}+2ab+b^{2})=ab(a+b)^{2}=(-8)×10^{2}=-8×100=-800$。

19. (10分)将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。
例如：$ ax + ay + bx + by $
$ = (ax + ay) + (bx + by) $
$ = a(x + y) + b(x + y) $
$ = (x + y)(a + b) $。
请你仿照以上方法,分解下列因式：
(1)$ x^{2} - y^{2} - x - y $；
(2)$ 9m^{2} - 4x^{2} + 4xy - y^{2} $。

答案：
(1)$x^{2}-y^{2}-x-y=(x^{2}-y^{2})-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)$。
(2)$9m^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}=9m^{2}-(4x^{2}-4xy+y^{2})=9m^{2}-(2x-y)^{2}=(3m+2x-y)(3m-2x+y)$。