《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

10. 在平面直角坐标系中,直线$y = x与双曲线y = \frac{2}{x}交于A,B$两点. 若点$A,B的纵坐标分别为y_{1},y_{2}$,则$y_{1} + y_{2}$的值为()
A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 2

答案： C

11. 函数$y = \frac{k}{x}与y = kx + k$在同一平面直角坐标系中的图象大致是()

答案： B

12. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l与x$轴平行,分别与反比例函数$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)和y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)的图象交于点P,Q$. 若$\triangle POQ$的面积为9,则$k$的值为______.

答案： -12

13. (永州祁阳县期中)如图,一次函数$y_{1} = ax + b(a \neq 0)的图象与反比例函数y_{2} = \frac{k}{x}(k \neq 0)的图象相交于点A(2,1)$,$B(-1,n)$.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

(2)求$\triangle AOB$的面积;
(3)直接写出当$y_{1} ＜ y_{2}$时,$x$的取值范围.

答案： 解：
(1)
∵ 反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象过点 $ A(2, 1) $，
∴ $ k = 2 \times 1 = 2 $，
∴ 反比例函数的表达式为 $ y_2 = \frac{2}{x} $。
∵ 点 $ B(-1, n) $ 在 $ y_2 = \frac{2}{x} $ 的图象上，
∴ $ n = \frac{2}{-1} = -2 $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (-1, -2) $。把点 $ A(2, 1) $，$ B(-1, -2) $ 代入 $ y_1 = ax + b $，得 $ \begin{cases} 2a + b = 1, \\ -a + b = -2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = -1, \end{cases} $
∴ 一次函数的表达式为 $ y_1 = x - 1 $。
(2) 设一次函数与 $ y $ 轴交于点 $ C $。由
(1) 知 $ y_1 = x - 1 $，
∴ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = -1 $，
∴ 点 $ C $ 的坐标为 $ (0, -1) $，
∴ $ OC = 1 $，
∴ $ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OC \cdot (x_A - x_B) = \frac{1}{2} \times 1 \times (2 + 1) = \frac{3}{2} $。
(3) 当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $。

14. (株洲中考)如图,在平面直角坐标系中,点$A,B分别在函数y_{1} = \frac{2}{x}(x ＜ 0)和y_{2} = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上,点$C$在第二象限内,$AC \perp x轴于点P$,$BC \perp y轴于点Q$,连接$AB,PQ$,已知点$A的纵坐标为-2$.
(1)求点$A$的横坐标;
(2)记四边形$APQB的面积为S$,若点$B$的横坐标为2,试用含$k的代数式表示S$.

答案： 解：
(1)
∵ 点 $ A $ 在函数 $ y_1 = \frac{2}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，点 $ A $ 的纵坐标为 -2，
∴ $ -2 = \frac{2}{x} $，解得 $ x = -1 $，
∴ 点 $ A $ 的横坐标为 -1。
(2)
∵ 点 $ B $ 在函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ B $ 的横坐标为 2，
∴ $ B(2, \frac{k}{2}) $，
∴ $ PC = OQ = \frac{k}{2} $，$ BQ = 2 $。由
(1) 得 $ A(-1, -2) $，
∴ $ OP = CQ = 1 $，$ AP = 2 $，
∴ $ AC = AP + PC = 2 + \frac{k}{2} $，$ BC = CQ + BQ = 3 $，
∴ $ S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle PQC} = \frac{1}{2}BC \cdot AC - \frac{1}{2}PC \cdot CQ = \frac{1}{2} \times 3 \times (2 + \frac{k}{2}) - \frac{1}{2} \times \frac{k}{2} \times 1 = 3 + \frac{1}{2}k $。