《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

4. 若一元二次方程$4x^{2}+12x-27= 0$的两根为a,b,且$a＞b$,则$3a+b$的值为()
A. -3
B. 0
C. 9
D. 3

答案： B

5. (怀化通道县期末)在解方程$2x^{2}+4x+1= 0$时,对方程进行配方,文本框①中是小明做的,文本框②中是小丽做的,对于两人的做法,下列说法正确的是()
A. 两人都正确
B. 小明正确,小丽不正确
C. 小明不正确,小丽正确
D. 两人都不正确

答案： A

6. 若方程$2x^{2}+8x-32= 0能配成(x+p)^{2}+q= 0$的形式,则直线$y= px+q$不经过第____象限.

答案： 二

7. 用配方法解下列方程：
(1)$2x(x-3)= 2x+10$；
(2)$3(x-1)(x+2)= x-7$.

答案： 解:
(1) 方程整理, 得 $ 2x^{2}-8x-10=0 $, 将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}-4x-5=0 $. 配方, 得 $ x^{2}-4x+2^{2}-2^{2}-5=0 $, 因此 $ (x-2)^{2}=9 $. 由此得 $ x-2=3 $ 或 $ x-2=-3 $. 解得 $ x_{1}=5 $, $ x_{2}=-1 $.
(2) 方程整理, 得 $ 3x^{2}+2x+1=0 $, 将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}=0 $. 配方, 得 $ x^{2}+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}-(\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{3}=0 $, 因此 $ (x+\frac{1}{3})^{2}=-\frac{2}{9} $. $ \because -\frac{2}{9}＜0 $, $ \therefore $ 原方程无实数根.

8. 若直角三角形的两条直角边长恰好是方程$-2x^{2}+7x-3= 0$的两个根,求这个直角三角形的斜边长.

答案： 解: $ \because -2x^{2}+7x-3=0 $, $ \therefore x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0 $, 解得 $ x_{1}=3 $, $ x_{2}=\frac{1}{2} $, 即该直角三角形的两直角边长分别为 $ 3 $, $ \frac{1}{2} $, $ \therefore $ 直角三角形的斜边长为 $ \sqrt{3^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{37}}{2} $.

9. (衡阳衡山县期中)大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,都要先把二次项系数化为1,再进行配方. 现请你阅读如下方程(1)的解答过程,并按照此方法解方程(2).
方程(1)：$2x^{2}-2\sqrt {2}x-3= 0$.
解：$2x^{2}-2\sqrt {2}x= 3$,
$(\sqrt {2}x)^{2}-2\sqrt {2}x+1= 3+1$,
$(\sqrt {2}x-1)^{2}= 4$,
$\sqrt {2}x-1= \pm 2$,
$x_{1}= -\frac {\sqrt {2}}{2},x_{2}= \frac {3\sqrt {2}}{2}$.
方程(2)：$3x^{2}-2\sqrt {6}x= 2$.

答案： 解: $ (\sqrt{3}x)^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^{2}=2+(\sqrt{2})^{2} $, $ (\sqrt{3}x-\sqrt{2})^{2}=4 $, $ \sqrt{3}x-\sqrt{2}=±2 $, $ x_{1}=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3} $, $ x_{2}=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3} $.