《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

7. 若$x^{2}+(k - 1)x + 4$是一个完全平方式,则常数$k$的值为()
A. 5
B. 5或3
C. -3
D. 5或-3

答案： D

8. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+mx + 3 = 0配方后为(x + n)^{2}= 22$,那么一元二次方程$x^{2}-mx - 3 = 0$配方后为()
A. $(x + 5)^{2}= 28$
B. $(x + 5)^{2}= 19或(x - 5)^{2}= 19$
C. $(x - 5)^{2}= 19$
D. $(x + 5)^{2}= 28或(x - 5)^{2}= 28$

答案： D

9. 已知某个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的一个根,则这个三角形的周长是()
A. 11或13
B. 13或15
C. 11
D. 13

答案： D

10. (岳阳云溪区期中)小亮在解方程$(x + 1)^{2}-4(x + 1)+2 = 0$时,将$x + 1$看作一个整体,用配方法解得$x + 1= $____,则原方程的根为____．

答案： $2\pm\sqrt{2}$ $x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$

11. 规定：$a\otimes b= (a + b)b$,如：$2\otimes 3= (2 + 3)×3 = 15$．若$2\otimes x = 3$,则$x$的值为____．

答案： 1 或 -3

12. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+2 = 2\sqrt{2}x$；
(2)$(x + 1)(x - 5)= 7$．

答案： 解：
(1) 移项，得 $x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$。配方，得 $x^{2}-2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}+2 = 0$，因此 $(x - \sqrt{2})^{2}=0$。由此得 $x - \sqrt{2}=0$。解得 $x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}$。
(2) 原方程整理，得 $x^{2}-4x - 12 = 0$。配方，得 $x^{2}-4x + 4 - 4 - 12 = 0$，因此 $(x - 2)^{2}=16$。由此得 $x - 2 = -4$ 或 $x - 2 = 4$。解得 $x_{1}=-2$，$x_{2}=6$。

13. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-mx + 3 = 0配方后的形式为(x + n)^{2}= 1$．
(1)求$m$,$n$的值；
(2)求关于$x的一元二次方程x^{2}-mx - 2n = 0$的根．

答案： 解：
(1) 由 $(x + n)^{2}=1$，得 $x^{2}+2nx + n^{2}-1 = 0$。
∵ 一元二次方程 $x^{2}-mx + 3 = 0$ 配方后的形式为 $(x + n)^{2}=1$，
∴ $-m = 2n$，$n^{2}-1 = 3$，解得 $m = -4$，$n = 2$ 或 $m = 4$，$n = -2$。
(2) 分两种情况讨论：① 当 $m = -4$，$n = 2$ 时，方程为 $x^{2}+4x - 4 = 0$，解得 $x_{1}=2\sqrt{2}-2$，$x_{2}=-2\sqrt{2}-2$；② 当 $m = 4$，$n = -2$ 时，方程为 $x^{2}-4x + 4 = 0$，解得 $x_{1}=x_{2}=2$。

14. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用．
例如,求代数式$x^{2}+4x + 5$的最小值．
解答过程如下：
解：$x^{2}+4x + 5$
$=(x^{2}+4x + 4)+1$
$=(x + 2)^{2}+1$．
$\because(x + 2)^{2}\geqslant0$,
$\therefore(x + 2)^{2}+1\geqslant1$,
$\therefore当x = - 2$时,$x^{2}+4x + 5$有最小值,最小值是1．
(1)仿照上述方法,求代数式$x^{2}-6x + 12$的最小值；
(2)填空：$-x^{2}+8x - 1$有最____(填“大”或“小”)值,是____．

答案： 解：
(1) $x^{2}-6x + 12=(x^{2}-6x + 9)+3=(x - 3)^{2}+3$。
∵ $(x - 3)^{2}\geq0$，
∴ $(x - 3)^{2}+3\geq3$，
∴ 当 $x = 3$ 时，代数式 $x^{2}-6x + 12$ 有最小值，最小值是 3。
(2) 大 15