《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

1. (长沙雨花区二模)如图, 在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AB= 10$,$BC= 8$, 则$\sin A$的值是()

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{4}{3}$

答案： B

2. 如图, 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AC= 12$,$BC= 5$, 则$\sin A$的值为()

A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{12}{5}$
C. $\frac{12}{13}$
D. $\frac{5}{13}$

答案： D

3. 在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AB= 15$,$\sin B= \frac{3}{5}$, 则$AC$的长为()
A. 3
B. 9
C. 4
D. 12

答案： B

4. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$. 若将各边长度都缩小为原来的$\frac{1}{2}$, 则$∠A$的正弦值()
A. 扩大为原来的2倍
B. 缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C. 缩小为原来的$\frac{1}{4}$
D. 不变

答案： D

5. 如图, 在平面直角坐标系中, 直线$OA过点(2,1)$, 则$\sin \alpha$的值是______.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

6. 如图, 在$\triangle ABC$中,$AD平分∠BAC$,$AB= AC= 5$,$\sin B= \frac{4}{5}$, 则$BC$的长为______.

答案： 6

7. 如图, 在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AC:BC= 3:2$, 求$\sin A和\sin B$的值.

答案： 解：$\because AC:BC = 3:2$，$\therefore$可设$AC = 3x$，$BC = 2x$，$\therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{13}x$，$\therefore \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{13}\sqrt{13}$，$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{13}\sqrt{13}$。

8. (衡阳南岳区期末)如图, 在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$\sin A= \frac{2}{3}$,$D为AC$上一点,$∠BDC= 45^{\circ}$,$DC= 6$, 求$AC$的长.

答案： 解：$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$\therefore \angle DBC = 90^{\circ} - \angle BDC = 45^{\circ} = \angle BDC$，$\therefore BC = DC = 6$。$\because$在$Rt\triangle ACB$中，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$，$\therefore \frac{6}{AB} = \frac{2}{3}$，$\therefore AB = 9$，$\therefore AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = 3\sqrt{5}$。

9. 计算$\sin 30^{\circ}$的值为()
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： C

10. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$∠A= 2∠B$, 则$∠B$的正弦值为______.

答案： $\frac{1}{2}$