《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

7. 已知$a是一元二次方程2x^{2}-2x-1= 0$的较大的实数根,那么$a$的值应在()
A. 3和4之间
B. 2和3之间
C. 1和2之间
D. 0和1之间

答案： C

8. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0的两根分别为x_{1}= \frac{-b+\sqrt{b^{2}+4}}{2},x_{2}= \frac{-b-\sqrt{b^{2}+4}}{2}$,则下列判断一定正确的是()
A. $a= -1$
B. $c= 1$
C. $ac= 1$
D. $\frac{c}{a}= -1$

答案： D

9. 若关于$x的一元二次方程(m-1)x^{2}+5x+m^{2}-3m+2= 0$的一个根为0,则$m$的值为____.

答案： 2

10. 用公式法解下列方程:
(1)$(x+2)(x+3)= 6x+7$;
(2)$3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)$;
(3)$x^{2}-\sqrt{2}x+1= -3\sqrt{2}x$.

答案： 解：
(1) 方程整理，得 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = - 1 $，$ c = - 1 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 1 ) = 5 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { 1 \pm \sqrt { 5 } } { 2 } $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = \frac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } $。
(2) 方程整理，得 $ x ^ { 2 } - 9 x + 2 = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = - 9 $，$ c = 2 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 9 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 = 73 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { 9 \pm \sqrt { 73 } } { 2 } $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = \frac { 9 + \sqrt { 73 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 9 - \sqrt { 73 } } { 2 } $。
(3) 方程整理，得 $ x ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } x + 1 = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = 2 \sqrt { 2 } $，$ c = 1 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( 2 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 1 = 4 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { - 2 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 4 } } { 2 } = - \sqrt { 2 } \pm 1 $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = - \sqrt { 2 } + 1 $，$ x _ { 2 } = - \sqrt { 2 } - 1 $。

11. 我们规定一种运算:$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$.请依据以上规定计算:当$\begin{vmatrix}x&0.5-x\\1&x\end{vmatrix}=0$时,$x$的值.

答案： 解：由题意，得 $ x ^ { 2 } - ( 0.5 - x ) = 0 $，即 $ x ^ { 2 } + x - \frac { 1 } { 2 } = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = 1 $，$ c = - \frac { 1 } { 2 } $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = 1 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = 3 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { - 1 \pm \sqrt { 3 } } { 2 } $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = \frac { - 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - 1 - \sqrt { 3 } } { 2 } $。

12. (岳阳汨罗市期末)已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两根分别为x_{1},x_{2}$,根据一元二次方程的根的概念知:$ax^{2}+bx+c= a(x-x_{1})(x-x_{2})= 0$,即$ax^{2}+bx+c= a(x-x_{1})(x-x_{2})$,这样我们可以在实数范围内分解因式.
例:$\because2x^{2}+2x-1= 0的根为x= \frac{-2\pm\sqrt{12}}{4}$,
$\therefore x_{1}= \frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_{2}= \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore2x^{2}+2x-1$
$=2(x-\frac{-1+\sqrt{3}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{3}}{2})$
$=2(x-\frac{-1+\sqrt{3}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{3}}{2})$.
试仿照上例在实数范围内分解因式:$3x^{2}-5x+1$.

答案： 解：$ \because 3 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0 $ 的根为 $ x = \frac { 5 \pm \sqrt { 13 } } { 6 } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 5 + \sqrt { 13 } } { 6 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 5 - \sqrt { 13 } } { 6 } $，$ \therefore 3 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 3 \left( x - \frac { 5 + \sqrt { 13 } } { 6 } \right) \left( x - \frac { 5 - \sqrt { 13 } } { 6 } \right) $。