《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

1. 在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$∠A = 58^{\circ}$,$∠B = 50^{\circ}$,$∠A' = 58^{\circ}$,$∠C' = 72^{\circ}$,这两个三角形()
A. 既全等又相似
B. 相似
C. 全等
D. 无法判定是否相似

答案： B

2. 如图,D是BC上的点,$∠ADB = ∠BAC$,则下列结论正确的是()

A. $\triangle ABC \backsim \triangle DAC$
B. $\triangle ABC \backsim \triangle DBA$
C. $\triangle ABD \backsim \triangle ACD$
D. 以上都不对

答案： B

3. 已知$\triangle ABC$如图所示,则下列三角形与$\triangle ABC$相似的是()

答案： C

4.(张家界永定区期末)如图,$∠ABD = ∠BDC = 90^{\circ}$,$∠A = ∠CBD$,$AB = 3$,$BD = 2$,则CD的长为()

A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. 2
D. 3

答案： B

5. 如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,$EF⊥BE$,交CD于点F,连接BF,则图中与$\triangle ABE$一定相似的三角形是()

A. $\triangle EFB$
B. $\triangle DEF$
C. $\triangle CFB$
D. $\triangle EFB和\triangle DEF$

答案： B

6. 下列图形中不一定相似的是()
A. 各有一个角是$45^{\circ}$的两个等腰三角形
B. 等边三角形
C. 各有一个角是$110^{\circ}$的两个等腰三角形
D. 两个等腰直角三角形

答案： A

7. 如图,在$\triangle ABC$中,E为AC的中点. 若$∠AED = ∠B$,$AD = 8$,$BD = 17$,则AC的长为______.

答案： 20

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD = CD$,$CE⊥AB$于点E. 求证：$\triangle ABD \backsim \triangle CBE$.

答案： 证明：
∵ $ AB = AC $，$ BD = CD $，
∴ $ AD \perp BC $，
∴ $ \angle ADB = 90 ^ { \circ } $．
∵ $ CE \perp AB $，
∴ $ \angle CEB = 90 ^ { \circ } = \angle ADB $．又
∵ $ \angle B = \angle B $，
∴ $ \triangle ABD \backsim \triangle CBE $．

9. 如图,在$\triangle ABC$中,点D在边BC上,$∠DAC = ∠B$,点E在线段AD上,$CE = CD$.
(1)求证：$\triangle CAE \backsim \triangle ABD$；
(2)若$AB = 6$,$AC = \frac{9}{2}$,$BD = 2$,求AE的长.

答案：
(1) 证明：
∵ $ CE = CD $，
∴ $ \angle CED = \angle CDE $，
∴ $ 180 ^ { \circ } - \angle CED = 180 ^ { \circ } - \angle CDE $，即 $ \angle CEA = \angle ADB $．
∵ $ \angle DAC = \angle B $，
∴ $ \triangle CAE \backsim \triangle ABD $．
(2) 解：由
(1) 知 $ \triangle CAE \backsim \triangle ABD $，
∴ $ \frac { AC } { BA } = \frac { AE } { BD } $，即 $ \frac { \frac { 9 } { 2 } } { 6 } = \frac { AE } { 2 } $，解得 $ AE = \frac { 3 } { 2 } $．