《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

11. (娄底中考)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 3 ) x + k = 0 $ 的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 不能确定

答案： A

12. 在平面直角坐标系中,若直线 $ y = - x + m $ 不经过第一象限,则关于 $ x $ 的方程 $ m x ^ { 2 } + x + 1 = 0 $ 的实数根的个数为()
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 1 或 2 个

答案： D

13. (长沙雨花区期末)定义:若一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 满足 $ a - b + c = 0 $,则我们称这个方程为“蝴蝶”方程.已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } - b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 是“蝴蝶”方程,且有两个相等的实数根,则 $ a $ 与 $ c $ 的数量关系是______.

答案： $ a = c $

14. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( m + 1 ) x + \frac { 1 } { 4 } m ^ { 2 } = 0 $ 无实数根.
(1)求 $ m $ 的取值范围;
(2)判断关于 $ x $ 的方程 $ 2 x ^ { 2 } + x - 3 + m = 0 $ 是否有实数根.

答案： 解：
(1)由题意，得 $ \Delta = [-(m + 1)]^{2}-4×1×\frac{1}{4}m^{2} = 2m + 1＜0 $，解得 $ m＜-\frac{1}{2} $。
(2)由题意，得 $ \Delta = 1^{2}-4×2×(-3 + m) = 25 - 8m $。由
(1)知 $ m＜-\frac{1}{2} $，$ \therefore 25 - 8m＞0 $，$ \therefore $方程有两个不相等的实数根。

15. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + \frac { 1 } { 2 } = 0 $.
(1)当 $ b = a + 1 $ 时,利用根的判别式判断该方程的根的情况;
(2)若该方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的 $ a,b $ 的值,并求出此时方程的根.

答案： 解：
(1)由题意，得 $ \Delta = b^{2}-4×a×\frac{1}{2} = b^{2}-2a $。$ \because b = a + 1 $，$ \therefore \Delta = (a + 1)^{2}-2a = a^{2}+1＞0 $，$ \therefore $该方程有两个不相等的实数根。
(2) $ \because $方程有两个相等的实数根，$ \therefore b^{2}-2a = 0 $，$ \therefore b^{2} = 2a $。若 $ a = 2 $，$ b = 2 $，则原方程为 $ 2x^{2}+2x+\frac{1}{2} = 0 $，解得 $ x_{1} = x_{2} = -\frac{1}{2} $。（答案不唯一）

16. (娄底双峰县期末)已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - m x + \frac { m } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } = 0 $.
(1)求证:不论 $ m $ 为何值,方程总有两个实数根;
(2)若 $ \square A B C D $ 的两边 $ A B, A D $ 的长是已知方程的两个实数根,当 $ m $ 为何值时, $ \square A B C D $ 是菱形?求此菱形的边长.

答案：
(1)证明：$ \because \Delta = (-m)^{2}-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}) = m^{2}-2m + 1 = (m - 1)^{2}≥0 $，$ \therefore $不论 $ m $ 为何值，方程总有两个实数根。
(2)解：$ \because \square ABCD $是菱形，$ \therefore AB = AD $，$ \therefore $方程有两个相等的实数根，$ \therefore \Delta = (m - 1)^{2} = 0 $，即 $ m = 1 $。把 $ m = 1 $ 代入原方程，得 $ x^{2}-x+\frac{1}{4} = 0 $，解得 $ x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2} $，$ \therefore $当 $ m = 1 $ 时，$ \square ABCD $是菱形，此菱形的边长为 $ \frac{1}{2} $。