《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

13. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+m= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,则下列选项正确的是()
A. $x_{1}+x_{2}＜0$
B. $x_{1}x_{2}＜0$
C. $x_{1}x_{2}＞-1$
D. $x_{1}x_{2}＜1$

答案： D

14. 若$m,n分别是一元二次方程x^{2}+3x-9= 0$的两个根,则$m^{2}+4m+n$的值是()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 12

答案： C

15. 在解一元二次方程$x^{2}+px+q= 0$时,小红看错了常数项$q$,得到方程的两个根分别是-3,1;小明看错了一次项系数$p$,得到方程的两个根分别是5,-4,则原方程是()
A. $x^{2}+2x-3= 0$
B. $x^{2}+2x-20= 0$
C. $x^{2}-2x-20= 0$
D. $x^{2}-2x-3= 0$

答案： B

16. (长沙天心区开学)若$a,b是关于x的一元二次方程x^{2}-2kx+4k= 0$的两个实数根,且$a^{2}+b^{2}= 12$,则$k$的值是____.

答案： $-1$

17. 已知$x_{1},x_{2}是关于x的一元二次方程2x^{2}-2x+m+1= 0$的两个实数根.
(1)求实数$m$的取值范围;
(2)如果$x_{1},x_{2}满足不等式4+6x_{1}x_{2}＞(x_{1}+x_{2})^{2}$,且$m$为整数,求$m$的值.

答案： 解：
(1)由题意，得$\Delta=(-2)^{2}-4\times2\times(m+1)\geq0$，解得$m\leq-\frac{1}{2}$。
(2)由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=1$，$x_{1}x_{2}=\frac{m+1}{2}$。$\because4+6x_{1}x_{2}＞(x_{1}+x_{2})^{2}$，$\therefore4+6\times\frac{m+1}{2}＞1^{2}$，解得$m＞-2$。由
(1)知$m\leq-\frac{1}{2}$，$\therefore-2＜m\leq-\frac{1}{2}$。$\because m$为整数，$\therefore m=-1$。

18. (永州零陵区期中)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2(m-1)x+m^{2}+2= 0$.
(1)若方程有实数根,求实数$m$的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且满足$(x_{1}-x_{2})^{2}= 18-x_{1}x_{2}$,求实数$m$的值.

答案： 解：
(1)由题意，得$\Delta=[2(m-1)]^{2}-4(m^{2}+2)\geq0$，解得$m\leq-\frac{1}{2}$。
(2)由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-2(m-1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}+2$。$\because(x_{1}-x_{2})^{2}=18-x_{1}x_{2}$，$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=18-x_{1}x_{2}$，$\therefore4(m-1)^{2}-4(m^{2}+2)=18-(m^{2}+2)$，整理，得$m^{2}-8m-20=0$，解得$m_{1}=10$，$m_{2}=-2$。由
(1)知$m\leq-\frac{1}{2}$，$\therefore m=-2$。

19. (益阳安化县期末)已知$a,b满足a^{2}-15a-5= 0,b^{2}-15b-5= 0$,求$\frac {a}{b}+\frac {b}{a}$的值.

答案： 解：分两种情况讨论：
(1)当$a\neq b$时，$a$，$b$是一元二次方程$x^{2}-15x-5=0$的两根。$\because\Delta=(-15)^{2}-4\times1\times(-5)=245＞0$，$\therefore$由根与系数的关系，得$a+b=15$，$ab=-5$，$\therefore\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=-47$；
(2)当$a=b$时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+1=2$。综上所述，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值为$-47$或$2$。