《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

1. 用配方法解方程$2x^{2}-3x-6= 0$,第一步是方程两边()
A. 都加上9
B. 都加上$\frac {9}{4}$
C. 都加上$\frac {9}{16}$
D. 都除以2

答案： D

2. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-x-1= 0$；
(2)$3x^{2}-6x= 4$；
(3)$6x-1= -2x^{2}$；
(4)$-3x^{2}= -1-4x$.

答案： 解:
(1) 将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0 $. 配方, 得 $ x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{2}=0 $, 因此 $ (x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16} $. 由此得 $ x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} $ 或 $ x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4} $. 解得 $ x_{1}=1 $, $ x_{2}=-\frac{1}{2} $.
(2) 移项, 并将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}-2x-\frac{4}{3}=0 $. 配方, 得 $ x^{2}-2x+1-1-\frac{4}{3}=0 $, 因此 $ (x-1)^{2}=\frac{7}{3} $. 由此得 $ x-1=\frac{\sqrt{21}}{3} $ 或 $ x-1=-\frac{\sqrt{21}}{3} $. 解得 $ x_{1}=1+\frac{\sqrt{21}}{3} $, $ x_{2}=1-\frac{\sqrt{21}}{3} $.
(3) 移项, 并将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}+3x-\frac{1}{2}=0 $. 配方, 得 $ x^{2}+3x+(\frac{3}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{2}=0 $, 因此 $ (x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{11}{4} $. 由此得 $ x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} $ 或 $ x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2} $. 解得 $ x_{1}=\frac{-3+\sqrt{11}}{2} $, $ x_{2}=\frac{-3-\sqrt{11}}{2} $.
(4) 移项, 并将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=0 $. 配方, 得 $ x^{2}-\frac{4}{3}x+(\frac{2}{3})^{2}-(\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3}=0 $, 因此 $ (x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{7}{9} $. 由此得 $ x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} $ 或 $ x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3} $. 解得 $ x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3} $, $ x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3} $.

3. 小明同学用配方法解方程$6x^{2}-x-1= 0$的步骤如下：
解：将二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac {1}{6}x-\frac {1}{6}= 0$. ①
配方,得$x^{2}-\frac {1}{6}x+(\frac {1}{3})^{2}-(\frac {1}{3})^{2}-\frac {1}{6}= 0$,②
因此$(x-\frac {1}{3})^{2}= \frac {5}{18}$. ③
由此得$x-\frac {1}{3}= \sqrt {\frac {5}{18}}或x-\frac {1}{3}= -\sqrt {\frac {5}{18}}$. ④
解得$x_{1}= \frac {1}{3}+\frac {\sqrt {10}}{6},x_{2}= \frac {1}{3}-\frac {\sqrt {10}}{6}$. ⑤
(1)上述步骤,发生第一次错误是在第____步(填序号),错误的原因是____；
(2)请你写出正确的步骤.

答案： 解:
(1) ②方程左边应该加上一次项系数一半的平方, 再减去这个数
(2) 将二次项系数化为1, 得 $ x^{2}-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}=0 $. 配方, 得 $ x^{2}-\frac{1}{6}x+(\frac{1}{12})^{2}-(\frac{1}{12})^{2}-\frac{1}{6}=0 $, 因此 $ (x-\frac{1}{12})^{2}=\frac{25}{144} $. 由此得 $ x-\frac{1}{12}=\frac{5}{12} $ 或 $ x-\frac{1}{12}=-\frac{5}{12} $. 解得 $ x_{1}=\frac{1}{2} $, $ x_{2}=-\frac{1}{3} $.