《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

6. 解一元二次方程$(x + 1)(x + 3)= 5$较为合适的方法是()
A. 直接平方法
B. 公式法
C. 公式法或配方法
D. 因式分解法

答案： C

7. (永州宁远县月考)已知一元二次方程$x^{2}-10x + 24= 0$的两个根是菱形的两条对角线的长,则这个菱形的面积为()
A. 6
B. 10
C. 12
D. 24

答案： C

8. 小明设计了一个魔术盒,当任意实数对$(a,b)$进入其中,会得到一个新的实数$a^{2}-2b + 3$,若将实数对$(x,-2x)$放入其中,得到一个新数为8,则$x$的值为______。

答案： -5 或 1

9. 选择合适的方法解下列方程：
(1)$3x(x - 1)= 2 - 2x$；
(2)$(x - 3)(x - 1)= 9$；
(3)$4x^{2}-(x - 2)^{2}= 3$。

答案： 解:
(1) 原方程可化为 $ 3x(x-1)+2(x-1)=0 $. 把方程左边因式分解, 得 $ (x-1)(3x+2)=0 $, 由此得 $ x-1=0 $ 或 $ 3x+2=0 $. 解得 $ x_{1}=1,x_{2}=-\frac{2}{3} $.
(2) 原方程可化为 $ x^{2}-4x-6=0 $. 配方, 得 $ x^{2}-4x+2^{2}-2^{2}-6=0 $, 因此 $ (x-2)^{2}=10 $. 由此得 $ x-2=\sqrt{10} $ 或 $ x-2=-\sqrt{10} $, 解得 $ x_{1}=2+\sqrt{10},x_{2}=2-\sqrt{10} $.
(3) 方程整理, 得 $ 3x^{2}+4x-7=0 $, 这里 $ a=3,b=4,c=-7 $, 因而 $ b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-7)=100＞0 $, $ \therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2×3} $, 因此, 原方程的根为 $ x_{1}=1,x_{2}=-\frac{7}{3} $.

10. (永州零陵区期中)在解一元二次方程时,发现有这样一种解法：
如：解方程$x(x + 8)= 4$。
解：原方程可变形,得$[(x + 4)-4][(x + 4)+4]= 4$,
$\therefore(x + 4)^{2}-4^{2}= 4$,
$\therefore(x + 4)^{2}= 20$。
根据平方根的意义,得$x + 4= \pm2\sqrt{5}$,
$\therefore x_{1}= -4 + 2\sqrt{5},x_{2}= -4 - 2\sqrt{5}$。
我们称这种解法为“平均数法”。
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x + 2)(x + 8)= 40$时写的解题过程：
解：原方程可变形,得$[(x + a)-b][(x + a)+b]= 40$,
$\therefore(x + a)^{2}-b^{2}= 40$,
$\therefore(x + a)^{2}= 40 + b^{2}$。
根据平方根的意义,得$x + a= \pm\sqrt{40 + b^{2}}$,
$\therefore x_{1}= c,x_{2}= d$。
上述解题过程中的$a,b,c,d(c\gt d)$所表示的数分别是____,____,____,____；

答案： 解:
(1) 5 3 2 -12
(2) 原方程可变形, 得 $ [(x+2)-4][(x+2)+4]=4 $, $ \therefore (x+2)^{2}-4^{2}=4 $, $ \therefore (x+2)^{2}=20 $. 根据平方根的意义, 得 $ x+2=\pm2\sqrt{5} $, $ \therefore x_{1}=-2+2\sqrt{5},x_{2}=-2-2\sqrt{5} $.

(2)请用“平均数法”解方程：$(x - 2)(x + 6)= 4$。

答案： $x_1 = 2\sqrt{5} - 2$，$x_2 = -2\sqrt{5} - 2$。