《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

10. 如图,直线 $ l_1 $,$ l_2 $,…$ $,$ l_6 $ 是一组等距离的平行线,过直线 $ l_1 $ 上的点 $ A $ 作两条射线,分别与直线 $ l_3 $,$ l_6 $ 相交于点 $ B $,$ E $,$ C $,$ F $. 若 $ BC = 2 $,则 $ EF $ 的长是()

A. $ 4 $
B. $ 5 $
C. $ 6 $
D. $ 7 $

答案： B

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $,$ E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的 $ AB $,$ AC $ 边上的点,且 $ DE // BC $,$ CF $,$ EG $ 分别是 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 的中线. 已知 $ AD:DB = 4:3 $,$ EG = 4 \text{ cm} $,则 $ CF $ 的长为______.

答案： 7 cm

12. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,$ AF $ 平分 $ \angle BAC $,交 $ DE $ 于点 $ G $. 若 $ AE = 6 $,$ EC = 2 $,$ AD = 4 $,$ BD = 8 $,则 $ AG:AF $ 等于______.

答案： 1:2

13. 如图,$ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $,$ AM $,$ DN $ 分别是这两个三角形的高,$ GH $,$ PQ $ 分别是这两个三角形的中位线,求证：$ AM \cdot PQ = DN \cdot GH $.

答案： 证明：
∵△ABC∽△DEF，且AM，DN分别是两个三角形的高，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{BC}{EF}$. 又
∵GH，PQ分别是这两个三角形的中位线，
∴$\frac{GH}{PQ}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}EF}=\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{GH}{PQ}$，
∴AM·PQ = DN·GH.

14. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AC $ 平分 $ \angle BAD $,$ BC \perp AC $,$ CD \perp AD $,且 $ AB = 18 $,$ AC = 12 $.
(1)求 $ AD $ 的长；
(2)若 $ DE \perp AC $,$ CF \perp AB $,垂足分别为点 $ E $,$ F $,求 $ \frac{DE}{CF} $ 的值.

答案： 解：
(1)
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC = ∠CAB.
∵BC⊥AC，CD⊥AD，
∴∠BCA = ∠CDA = 90°，
∴△CAD∽△BAC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{12}=\frac{12}{18}$，解得AD = 8.
(2)由
(1)知△CAD∽△BAC.
∵DE，CF分别为△CAD和△BAC的对应边AC和AB上的高，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$.

15. (衡阳耒阳市期末)如图,$ \triangle ABC $ 为锐角三角形,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高,正方形 $ EFGH $ 的一边 $ FG $ 在 $ BC $ 上,顶点 $ E $,$ H $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,已知 $ BC = 40 \text{ cm} $,$ AD = 30 \text{ cm} $.
(1)求证：$ \triangle AEH \backsim \triangle ABC $；
(2)求正方形 $ EFGH $ 的边长.

答案：
(1)证明：
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC.
(2)解：设AD与EH交于点M. 由题意可得∠EFD = ∠FEM = ∠FDM = 90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF = DM，AM⊥EH. 设正方形EFGH的边长为x cm. 由
(1)知△AEH∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{EH}{BC}$，即$\frac{30 - x}{30}=\frac{x}{40}$，解得$x = \frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的边长为$\frac{120}{7}$cm.