《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

1. 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0 $ 的根的判别式的值为()
A. $ \sqrt { 13 } $
B. 5
C. 7
D. 13

答案： D

2. 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 $ 的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定

答案： A

3. (衡阳衡南县期中)下列方程中,有两个相等的实数根的是()
A. $ x ^ { 2 } - 1 = 0 $
B. $ x ^ { 2 } + 1 = 2 x $
C. $ x ^ { 2 } - 2 x = 3 $
D. $ x ^ { 2 } - 2 x = 0 $

答案： B

4. 请写出一个无实数根的一元二次方程:______.

答案： $ x^{2}-x + 1 = 0 $（答案不唯一）

5. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
(1) $ 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $;
(2) $ x ^ { 2 } + 3 = 2 \sqrt { 2 } x $;
(3) $ 16 y ^ { 2 } + 9 = 24 y $.

答案： 解：
(1) $ \because \Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4×3×(-1) = 16＞0 $，$ \therefore $原方程有两个不相等的实数根。
(2)将原方程化为一般形式，得 $ x^{2}-2\sqrt{2}x + 3 = 0 $。$ \because \Delta = b^{2}-4ac = (-2\sqrt{2})^{2}-4×1×3 = -4＜0 $，$ \therefore $原方程没有实数根。
(3)将原方程化为一般形式，得 $ 16y^{2}-24y + 9 = 0 $。$ \because \Delta = b^{2}-4ac = (-24)^{2}-4×16×9 = 0 $，$ \therefore $原方程有两个相等的实数根。

6. (娄底娄星区期中)若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - x + k = 0 $ 没有实数根,则 $ k $ 的值可以是()
A. -2
B. $ \sqrt { 2 } $
C. $ \frac { 1 } { 5 } $
D. -1

答案： B

7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + m - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是______.

答案： $ m＜2 $

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2 x ^ { 2 } - ( 4 k + 1 ) x + 2 k ^ { 2 } - 1 = 0 $,求当 $ k $ 取什么值时,方程的根满足下列情况:
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程没有实数根.

答案： 解：$ \because a = 2 $，$ b = -(4k + 1) $，$ c = 2k^{2}-1 $，$ \therefore \Delta = b^{2}-4ac = [-(4k + 1)]^{2}-4×2×(2k^{2}-1) = 8k + 9 $。
(1) $ \because $方程有两个不相等的实数根，$ \therefore \Delta＞0 $，即 $ 8k + 9＞0 $，解得 $ k＞-\frac{9}{8} $。
(2) $ \because $方程有两个相等的实数根，$ \therefore \Delta = 0 $，即 $ 8k + 9 = 0 $，解得 $ k = -\frac{9}{8} $。
(3) $ \because $方程没有实数根，$ \therefore \Delta＜0 $，即 $ 8k + 9＜0 $，解得 $ k＜-\frac{9}{8} $。

9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( m + 1 ) x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是()
A. $ m ＞ - 2 $
B. $ m \geq - 2 $
C. $ m ＞ - 2 $ 且 $ m \neq - 1 $
D. $ m \geq - 2 $ 且 $ m \neq - 1 $

答案： D

10. (怀化新晃县期中)关于 $ x $ 的方程 $ k x ^ { 2 } + 2 x - 4 k = 0 $( $ k $ 为常数)的实数根的个数有()
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 1 个或 2 个

答案： D