《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

1. 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$能用公式法求解,则必须满足的条件是()
A. $b^{2}-4ac≥0$
B. $b^{2}-4ac≤0$
C. $b^{2}-4ac＞0$
D. $b^{2}-4ac＜0$

答案： A

2. (娄底新化县期中)用公式法解一元二次方程$2x^{2}-3x= 1$时,将方程化为一般形式,其中$a,b,c$的值依次为()
A. $2,-3,-1$
B. $2,3,1$
C. $2,-3,1$
D. $2,3,-1$

答案： A

3. 已知一元二次方程$x^{2}-4x-2= 0$,则$b^{2}-4ac$的值为____.

答案： 24

4. 用公式法解方程$3x^{2}+5x+1= 0$,正确的是()
A. $x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$
B. $x= \frac{-5\pm\sqrt{13}}{3}$
C. $x= \frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
D. $x= \frac{5\pm\sqrt{13}}{3}$

答案： A

5. 用公式法解下列方程:
(1)$x^{2}-2x-2= 0$;
(2)$x^{2}+25= -10x$;
(3)$3x^{2}-2x-2= 0$;
(4)$x^{2}-2\sqrt{2}x= -3$;
(5)$x^{2}-4x= 4x+11$.

答案： 解：
(1) 这里 $ a = 1 $，$ b = -2 $，$ c = -2 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 2 ) = 12 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { 2 \pm \sqrt { 12 } } { 2 } = 1 \pm \sqrt { 3 } $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = 1 + \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = 1 - \sqrt { 3 } $。
(2) 移项，得 $ x ^ { 2 } + 10 x + 25 = 0 $，这里 $ a = 1 $，$ b = 10 $，$ c = 25 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = 10 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 25 = 0 $，所以 $ x = \frac { - 10 \pm \sqrt { 0 } } { 2 } = - 5 $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = - 5 $。
(3) 这里 $ a = 3 $，$ b = - 2 $，$ c = - 2 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 \times 3 \times ( - 2 ) = 28 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { 2 \pm \sqrt { 28 } } { 2 \times 3 } = \frac { 1 \pm \sqrt { 7 } } { 3 } $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 7 } } { 3 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 7 } } { 3 } $。
(4) 移项，得 $ x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 2 } x + 3 = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = - 2 \sqrt { 2 } $，$ c = 3 $。因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 3 = - 4 ＜ 0 $。因此，原方程无实数根。
(5) 移项，得 $ x ^ { 2 } - 8 x - 11 = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = - 8 $，$ c = - 11 $，因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 11 ) = 108 ＞ 0 $，所以 $ x = \frac { 8 \pm \sqrt { 108 } } { 2 \times 1 } = 4 \pm 3 \sqrt { 3 } $。因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = 4 + 3 \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = 4 - 3 \sqrt { 3 } $。

6. 解方程$x^{2}= 3x+2$时,有一位同学解答如下:
解:这里$a= 1,b= 3,c= 2$,
因而$b^{2}-4ac= 3^{2}-4×1×2= 1$,
所以$x= \frac{-3\pm1}{2}$,
因此,原方程的根为$x_{1}= -1,x_{2}= -2$.
请你分析以上解答有无错误,如有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.

答案： 解：以上解答有错误，错误为 $ b \neq 3 $，$ c \neq 2 $，正确解题过程如下：移项，得 $ x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0 $。这里 $ a = 1 $，$ b = - 3 $，$ c = - 2 $，因而 $ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( - 2 ) = 17 $，所以 $ x = \frac { 3 \pm \sqrt { 17 } } { 2 } $，因此，原方程的根为 $ x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 17 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 17 } } { 2 } $。