《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

10. (邵阳隆回县期中)若关于$x的一元二次方程(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0的一个根为0$,则$a$的值为()
A. $1$
B. $-1$
C. $1或-1$
D. $2$

答案： B

11. 如图是一个简单的数值运算程序,则输入$x$的值为()

A. $\sqrt{3}+1$
B. $-\sqrt{3}+1$
C. $-\sqrt{3}+1或\sqrt{3}+1$
D. 无法确定

答案： C

12. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}-bx - 2024 = 0满足a + b = 2024$,则方程必有一根为()
A. $1$
B. $-1$
C. $\pm1$
D. 无法确定

答案： B

13. 若$(a + b - 2)^{2}= 25$,则$a + b$的值为______.

答案： 7或-3

变式1 若$(x + y + 4)(x + y - 4)= 65$,则$x + y$的值为______.

答案： $\pm 9$

变式2 若$(x^{2}+y^{2}+3)(x^{2}+y^{2}-3)= 72$,则$x^{2}+y^{2}$的值为______.

答案： 9

14. 解下列方程：
(1)$20x^{2}+10x + 3 = -5x^{2}+2$；
(2)$(y + 2)^{2}= (3y - 1)^{2}$.

答案： 解：（1）移项、合并同类项，得$25x^{2}+10x+1=0$，即$(5x+1)^{2}=0$，根据平方根的意义，得$5x+1=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-\frac {1}{5}$。（2）根据平方根的意义，得$y+2=3y-1$或$y+2=-(3y-1)$，解得$y_{1}=\frac {3}{2},y_{2}=-\frac {1}{4}$。

15. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}= b(ab＞0)的两个根分别为m + 1与2m - 4$.
(1)求$m$的值；
(2)求$\frac{b}{a}$的值.

答案： 解：（1）$\because ax^{2}=b(ab＞0)$，$\therefore x^{2}=\frac {b}{a}$，$\therefore x=\pm \sqrt {\frac {b}{a}}$，
∴方程的两个根互为相反数，$\therefore m+1+2m-4=0$，解得$m=1$。（2）由（1）知$m=1$，$\therefore m+1=2,2m-4=-2$，
∴关于x的一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两个根分别是2与-2，$\therefore \frac {b}{a}=x^{2}=4$。

16. 在实数范围内定义一种新运算“$\triangle$”,其规则如下：$a\triangle b = a^{2}-b^{2}$.
(1)若$(x + 2)\triangle5 = 0$,求$x$的值；
(2)解关于$x的方程x\triangle(3\triangle4)= -50$.

答案： 解：（1）由题意，得$(x+2)^{2}-5^{2}=0$，即$(x+2)^{2}=25$，根据平方根的意义，得$x+2=\pm 5$，解得$x_{1}=3,x_{2}=-7$。（2）由题意，得$x^{2}-(3^{2}-4^{2})^{2}=-50$，即$x^{2}=-1$。$\because -1＜0$，
∴方程无实数根。

17. (娄底娄星区月考)已知关于$x的方程a(x + c)^{2}+b = 0$($a$,$b$,$c$为常数,$a\neq0$)的两根分别为$-2$,$1$,求关于$x的方程a(x + c - 2)^{2}+b = 0的两根及c$的值.

答案： 解：根据题意，得$x-2=-2$或$x-2=1$，解得$x_{1}=0,x_{2}=3$。
∵方程$a(x+c)^{2}+b=0$的两根分别为-2，1，$\therefore a(-2+c)^{2}+b=0$或$a(1+c)^{2}+b=0$，$\therefore (-2+c)^{2}=-\frac {b}{a}$或$(1+c)^{2}=-\frac {b}{a}$，$\therefore -2+c+1+c=0$，解得$c=\frac {1}{2}$。