《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

9. 已知线段 $ a $,$ b $,$ c $,求作线段 $ x $,使 $ x = \frac { a c } { b } $,下列作法中正确的是()

A.
B.
C.
D.

答案： D

10. 如图,$ A B // C D // E F $,且 $ A O = O D = D F $,$ O E = 6 $,则 $ B E $ 的长为()

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

答案： A

11. 如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,点 $ A $,$ B $,$ C $ 在同一条直线上,且都在横格线上. 若 $ A B = 5 \mathrm { cm } $,则 $ B C $ 的长为______$ \mathrm { cm } $.

答案： 15

12. (常德武陵区期中)如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ D $,$ E $,$ F $ 分别是边 $ A B $,$ A C $,$ B C $ 上的点,$ D E // B C $,$ E F // A B $,且 $ A D : D B = 3 : 5 $,那么 $ C F $ 与 $ C B $ 之比是______.

答案： $5:8$

13. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ D E // B C $,$ E F // C D $. 已知 $ A E : C E = 3 : 2 $,$ A F = 6 $,求 $ D F $,$ B D $ 的长.

答案： 解：$\because EF// CD,\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2},\therefore \frac{6}{DF}=\frac{3}{2},\therefore DF=4,$$\therefore AD=AF+DF=10.\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2},\therefore \frac{10}{BD}=\frac{3}{2},\therefore BD=\frac{20}{3}.$

14. 如图,已知 $ A C // F E // B D $,求证：$ \frac { A E } { A D } + \frac { B E } { B C } = 1 $.

答案： 证明：$\because AC// EF,\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}.\because EF// BD,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB},\therefore \frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=$
$\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$，即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$.

15. (娄底双峰县期末)如图,$ A D $ 是 $ \triangle A B C $ 的中线,点 $ E $ 在 $ A C $ 上,连接 $ B E $,交 $ A D $ 于点 $ F $.
(1)当 $ \frac { A F } { A D } = \frac { 1 } { 2 } $ 时,$ \frac { A E } { A C } = $______；
(2)当 $ \frac { A F } { A D } = \frac { 1 } { 3 } $ 时,$ \frac { A E } { A C } = $______；
(3)当 $ \frac { A F } { A D } = \frac { 1 } { 4 } $ 时,$ \frac { A E } { A C } = $______；
(4)猜想：当 $ \frac { A F } { A D } = \frac { 1 } { n + 1 } $($ n $ 是正整数)时,求 $ \frac { A E } { A C } $ 的值(用含 $ n $ 的式子表示),并说明理由.

答案： 解：
(1)$\frac{1}{3}$
(2)$\frac{1}{5}$
(3)$\frac{1}{7}$
(4)当
$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{n+1}$时，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2n+1}$. 理由如下：过点 D 作$DG// BE$，交 AC 于点 G，则
$\frac{AE}{AG}=\frac{AF}{AD}=\frac{1}{n+1},\therefore \frac{AE}{EG}=\frac{1}{n},\therefore EG=nAE.\because AD$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore BD=$
$CD.\because DG// BE,\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{EG}{CG},\therefore EG=CG,\therefore AC=AE+EG+CG=$
$(2n+1)AE,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{2n+1}.$