《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

8. 方程$(x^{2}+1)(x^{2}-2)= 0$的根为()
A. -1
B. 2
C. $\pm \sqrt {2}$
D. -1或2

答案： C

变式 若实数x,y满足$(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-2)= 0$,则$x^{2}+y^{2}$的值为()
A. 1
B. 2
C. 2或-1
D. 2或1

答案： 【变式】B

9. 用因式分解法解方程$x^{2}-px-6= 0$,将左边分解后有一个因式为$x-3$,则该方程的根为______.

答案： $x_{1}=3$，$x_{2}=-2$

10. 对于实数a,b,定义运算“◎”如下：$a\odot b= (a+b)^{2}-(a-b)^{2}$.若$(m+2)\odot (m-3)= 24$,则m的值为______.

答案： $-3$或$4$

11. 用因式分解法解下列方程：
(1)$2(x-3)^{2}= x^{2}-9;$
(2)$x^{2}-4x+4= (3-2x)^{2};$
(3)$(x-1)(x+2)= 10.$

答案： 解：
(1)原方程化为$2(x - 3)^{2}-(x + 3)(x - 3)=0$。把方程左边因式分解，得$(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)]=0$，由此得$x - 3 = 0$或$x - 9 = 0$。解得$x_{1}=3$，$x_{2}=9$。
(2)原方程可化为$(x - 2)^{2}-(3 - 2x)^{2}=0$。把方程左边因式分解，得$(x - 2 + 3 - 2x)(x - 2 - 3 + 2x)=0$，由此得$-x + 1 = 0$或$3x - 5 = 0$。解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{5}{3}$。
(3)原方程整理，得$x^{2}+x - 12 = 0$。配方，得$x^{2}+x + (\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}-12 = 0$，因而$(x + \frac{1}{2})^{2}-(\frac{7}{2})^{2}=0$。把方程左边因式分解，得$(x + \frac{1}{2} + \frac{7}{2})(x + \frac{1}{2} - \frac{7}{2})=0$，由此得$x + 4 = 0$或$x - 3 = 0$。解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=3$。

12. 若三角形的两边长分别为2和4,第三边长是方程$x(x-4)+2(4-x)= 0$的根,求这个三角形的周长.

答案： 解：$\because x(x - 4)+2(4 - x)=0$，$\therefore (x - 2)(x - 4)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。当$x = 2$时，不满足三角形的三边关系，$\therefore x = 4$，$\therefore$这个三角形的周长为$2 + 4 + 4 = 10$。

13. (益阳赫山区期末)由多项式乘法：$(x+a)(x+b)= x^{2}+(a+b)x+ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).$
如：分解因式：$x^{2}+5x+6= x^{2}+(2+3)x+2×3= (x+2)(x+3).$
(1)尝试：分解因式：$x^{2}+6x+8= (x+$______)$(x+$______);
(2)应用：请用上述方法解方程：
①$x^{2}-2x-3= 0;$
②$x^{2}-7x+12= 0.$

答案： 解：
(1)$2$ $4$
(2)①$\because x^{2}-2x - 3 = x^{2}+(-3 + 1)x + (-3)\times1=(x - 3)(x + 1)$，$\therefore (x - 3)(x + 1)=0$，$\therefore x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。②$\because x^{2}-7x + 12 = x^{2}+(-3 - 4)x + (-3)\times(-4)=(x - 3)(x - 4)$，$\therefore (x - 3)(x - 4)=0$，$\therefore x - 3 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=4$。