《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

1. 下列方程是一元二次方程的是()
A. $ 9 x + 2 = 0 $
B. $ y ^ { 2 } + x = 1 $
C. $ 3 x ^ { 2 } - 8 = 0 $
D. $ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } = 0 $

答案： C

2. 若方程$ ( m - 2 ) x ^ { 2 } + 3 x - 5 = 0 是关于 x $的一元二次方程,则$ m $的取值范围是____.

答案： $ m \neq 2 $

变式 当$ m $的值为____时,关于$ x 的方程 2 x ^ { m - 2 } = 5 $是一元二次方程.

答案： 4

3. (株洲醴陵市期末)将一元二次方程$ 3 x ^ { 2 } = - 2 x + 5 $化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别为()
A. $ 3 , - 2 , 5 $
B. $ 3 , 2 , - 5 $
C. $ 3 , - 2 , - 5 $
D. $ 3 , 5 , - 2 $

答案： B

4. 若关于$ x 的一元二次方程 x ^ { 2 } - ( b - 4 ) x + 9 = 0 的一次项系数为 2 $,则$ b $的值为____.

答案： 2

5. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$ 5 x ( x - 2 ) = 4 x ^ { 2 } - 3 x $;
(2)$ x ^ { 2 } + 2 = ( x - 2 ) ( 2 x + 1 ) $.

答案： 解：
(1)一般形式为 $ x ^ { 2 } - 7 x = 0 $。二次项系数为 1，一次项系数为 -7，常数项为 0。
(2)一般形式为 $ x ^ { 2 } - 3 x - 4 = 0 $。二次项系数为 1，一次项系数为 -3，常数项为 -4。

6. 某校准备修建一个面积为$ 180 \mathrm { m } ^ { 2 } $的矩形活动场地,它的长比宽多$ 11 \mathrm { m } $.设场地的宽为$ x \mathrm { m } $,则可列方程为()
A. $ x ( x - 11 ) = 180 $
B. $ 2 x + 2 ( x - 11 ) = 180 $
C. $ x ( x + 11 ) = 180 $
D. $ 2 x + 2 ( x + 11 ) = 180 $

答案： C

7. (湘潭中考)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由$ 100 元降为 64 $元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为$ x $,则可列方程为____.

答案： $ 100 ( 1 - x ) ^ { 2 } = 64 $

8. 如图,在长为$ 30 \mathrm { m } $,宽$ 20 \mathrm { m } $的矩形田地中开辟两条与矩形的边垂直且宽度相等的道路.已知剩余田地的面积为$ 551 \mathrm { m } ^ { 2 } $,求道路的宽度.设道路的宽度为$ x \mathrm { m } $,则可列方程为____.

答案： $ ( 30 - x ) ( 20 - x ) = 551 $

9. 根据下列问题,列出关于$ x $的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)$ 5 个完全相同的正方形的面积之和是 36 $,求正方形的边长$ x $;
(2)已知两个连续正整数的积为$ 182 $,求较小的正整数$ x $.

答案： 解：
(1)由题意，得 $ 5 x ^ { 2 } = 36 $。化为一般形式为 $ 5 x ^ { 2 } - 36 = 0 $。
(2)由题意，得 $ x ( x + 1 ) = 182 $。化为一般形式为 $ x ^ { 2 } + x - 182 = 0 $。

10. 已知$ ( 4 - m ) x ^ { | m | - 2 } + 3 = 9 是关于 x $的一元二次方程,则$ m $的值为____.

答案： -4