《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

5 - 1（1)[问题解决]如图①,已知AB//CD,∠BEP = 36°,∠CFP = 152°,求∠EPF 的度数。
(2)[问题迁移]如图②,若AB//CD,点P 在AB的上方,则∠PFC,∠PEA,∠EPF之间有何数量关系？请说明理由。
(3)[联想拓展]如图③,在(2)的条件下，已知∠EPF = α,∠PEA和∠PFC的平分线交于点G,求∠G的度数(结果用含α的式子表示)。

答案： 解:
(1)如图①,过点P作PG//AB,则∠EPG = ∠BEP = 36°。因为AB//CD,所以GP//CD,所以∠FPG + ∠CFP = 180°。所以∠FPG = 180° - ∠CFP = 180° - 152° = 28°,
所以∠EPF = ∠EPG + ∠FPG = 64°。
(2)∠EPF = ∠PFC - ∠PEA。理由如下:
如图②,过点P作PG//AB,所以∠EPG = ∠PEA。
因为AB//CD,所以PG//CD,所以∠PFC = ∠FPG。
因为∠EPF = ∠FPG - ∠EPG,所以∠EPF = ∠PFC - ∠PEA。
(3)因为FG平分∠PFC,EG平分∠PEA,
所以∠GFC = $\frac{1}{2}$∠PFC，∠GEA = $\frac{1}{2}$∠PEA。
同
(2)可得∠G = ∠GFC - ∠GEA。
因为∠EPF = ∠PFC - ∠PEA = α，
所以∠G = ∠GFC - ∠GEA = $\frac{1}{2}$∠PFC - $\frac{1}{2}$∠PEA = $\frac{1}{2}$(∠PFC - ∠PEA) = $\frac{1}{2}$α。

5 - 2 已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上,点O在AB,CD之间,O,B,D三点均在直线EF的同侧。
(1)如图①,试说明:∠EOF = ∠BEO + ∠DFO;
(2)如图②,若OE⊥OF,EG,FG分别平分∠BEO和∠DFO,求∠G的度数;
(3)如图③,若∠EOF = 100°,EM平分∠BEO交FO的延长线于点M,FN平分∠DFO交EO的延长线于点N,求∠M + ∠N的度数。

答案： 解:
(1)如图①,过点O作OP//AB,则∠EOP = ∠BEO。
因为AB//CD,
所以OP//CD,所以∠FOP = ∠DFO。
所以∠EOF = ∠EOP + ∠FOP = ∠BEO + ∠DFO。
(2)因为OE⊥OF,所以∠EOF = 90°。
同
(1)可得∠EOF = ∠BEO + ∠DFO = 90°,∠G = ∠BEG + ∠DFG。
因为EG,FG分别平分∠BEO和∠DFO,
所以∠BEG = $\frac{1}{2}$∠BEO，∠DFG = $\frac{1}{2}$∠DFO。
所以∠G = ∠BEG + ∠DFG = $\frac{1}{2}$(∠BEO + ∠DFO) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(3)同
(1)可得∠EOF = ∠BEO + ∠DFO = 100°,∠M = ∠BEM + ∠DFO,∠N = ∠BEO + ∠DFN。
因为EM平分∠BEO,FN平分∠DFO,
所以∠BEM = $\frac{1}{2}$∠BEO，∠DFN = $\frac{1}{2}$∠DFO。
所以∠M + ∠N = ∠BEM + ∠DFO + ∠BEO + ∠DFN = $\frac{1}{2}$∠BEO + ∠DFO + ∠BEO + $\frac{1}{2}$∠DFO = $\frac{3}{2}$(∠BEO + ∠DFO) = $\frac{3}{2}$×100° = 150°。