《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

3 - 1 如图，AC = AE，BC = DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF + ∠AED = 180°。试说明：AB = AD。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：因为 $\angle ACF+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle ACF+\angle AED = 180^{\circ}$，
所以 $\angle ACB=\angle AED$。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 中，
因为 $AC = AE$，$\angle ACB=\angle AED$，$BC = DE$，
所以 $\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$。所以 $AB = AD$。

3 - 2 [安阳殷都区期末]如图，在△ABC中，D是AC上一点，BF // AC，DF交BC于点E，DE = FE。
(1)试说明：△CDE ≌ △BFE；
(2)若AC = 8，BF = 6，求AD的长。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)因为 $BF// AC$，所以 $\angle C=\angle EBF$，$\angle CDE=\angle F$。
在 $\triangle CDE$ 和 $\triangle BFE$ 中，
因为 $\angle C=\angle EBF$，$\angle CDE=\angle F$，$DE = FE$，
所以 $\triangle CDE\cong\triangle BFE(AAS)$。
(2)因为 $\triangle CDE\cong\triangle BFE$，所以 $CD = BF = 6$，
所以 $AD = AC - CD = 8 - 6 = 2$。

3 - 3 [阅读材料]如图①，在△ABC中，AB = AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP = ∠BAC，连接BQ，CP，可得BQ = CP。
[解决问题]若将点P移到△ABC外，其他条件不变，如图②，则BQ = CP还成立吗？请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：$BQ = CP$ 还成立。理由如下：
因为 $\angle QAP=\angle BAC$，
所以 $\angle QAP+\angle PAB=\angle BAC+\angle PAB$，即 $\angle QAB=\angle PAC$。
在 $\triangle ABQ$ 和 $\triangle ACP$ 中，
因为 $AQ = AP$，$\angle QAB=\angle PAC$，$AB = AC$，
所以 $\triangle ABQ\cong\triangle ACP(SAS)$。所以 $BQ = CP$。