《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

1. ☆若x是整数，则(x + 2)² + x(1 - x) - 9一定能被5整除，试说明理由。

答案： 解:(x+2)²+x(1−x)−9=x²+4x+4+x−x²−9=5x−5=5(x−1)。因为x是整数,所以(x−1)是整数，所以5(x−1)能被5整除,即x是整数时,(x+2)²+x(1−x)−9−定能被5整除。

2. ∞试说明7²×9^(m + 2) - 3^(2m - 1)×65（m为正整数）能被17整除。

答案： 解:因为7²×9m+2−32m−1×6²=7²×32m+4−32m−1×2²×35=7²×32m+4_25×32m+4=(7²−2²)×32m+4=17×32m+4,所以7²×9+2−32m−1×6"(m为正整数)能被17整除。

3. 规定：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，例如：$\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=2×3 - 1×4 = 6 - 4 = 2$。
(1) 若x² - 3x - 1 = 0，则$\begin{vmatrix}x + 2&1\\x&3 - x\end{vmatrix}$的值为________；
(2) 若n为正整数，试说明$\begin{vmatrix}3n + 1&3n - 1\\3&3\end{vmatrix}$的值能被10整除。

答案：
(1)−3　[解析]xx+−21x3−x1=(x+1)(x−1)−3x(x−2)=x²−1−3x²+6x=−2x²+6x−1。因为x²−3x−1=0,所以x²−3x =1,所以−2x²+6x−1=−2(x²−3x)−1=−2×1−1=−3,即x+1　3x
　x−2x−1的值为−3
　　3n+13−n
(2)3+n3n−1{((3n+1)(3n−1)−(33n)(3+nn)=9²21−(9−n²)=9n²−1−9+n²=10n²−10=10(n²−1)。
　因为n为正整数,所以n²−1是整数,所以10(n²−1)能被10 3n+13−n
　整除,即3+n3n−1的值能被10整除。