《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册北师大版》

题型七利用多项式乘多项式探索规律例8庚★规律探究先观察下列各式,再解答下面的问题:
(x + 5)(x + 6) = x² + 11x + 30;
(x - 5)(x - 6) = x² - 11x + 30;
(x - 5)(x + 6) = x² + x - 30;
(x + 5)(x - 6) = x² - x - 30。
(1)根据以上各式呈现的规律,用公式表示:(x + p)(x + q) = x² + (p + q)x + pq。
(2)试用你写的公式,直接写出下列两式的结果:
①(a + 99)(a - 100) = a² - a - 9900;
②(y - 5)(y - 8) = y² - 13y + 40;
(3)若(x + p)(x + q) = x² + mx + 6,且p,q为整数,请你求出使等式成立的所有m的值。
解:(1)x² + (p + q)x + pq
(2)①a² - a - 9900　②y² - 13y + 40
(3)由(1)可知p + q = m,pq = 6。
因为p,q为整数,所以:　若p,q为正负，则p,q异号;若p,q为同号，则p,q同号。
①当p = 1,q = 6(或p = 6,q = 1)时,m = 7;
②当p = - 1,q = - 6(或p = - 6,q = - 1)时,m = - 7;
③当p = 2,q = 3(或p = 3,q = 2)时,m = 5;
④当p = - 2,q = - 3(或p = - 3,q = - 2)时,m = - 5。
综上所述,m的值为7或 - 7或5或 - 5。
解题策略|1.对于数字规律的探究,解题时要认真观察等式左右两边，分析各个部分的对应关系，以便总结一般性的规律;
2.平时计算时直接利用(x + p)(x + q) = x² + (p + q)x + pq来简化运算。

答案：

举一反三训练
8 - 1★立[邯郸永年区期末]观察下列两个多项式相乘的运算过程:
　　　
　根据你发现的规律,若(x + a)(x + b) = x² - 7x + 12,则a,b的值可能分别是(　　　)
A. - 3, - 4
B. - 3,4　
　C.3, - 4　
　D.3,4

答案： A

8 - 2★★☆观察以下等式:
　(x + 1)(x² - x + 1) = x³ + 1;
　(x + 3)(x² - 3x + 9) = x³ + 27;
　(x + 6)(x² - 6x + 36) = x³ + 216;
　……
　(1)按以上等式的规律,填空:
　(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³;
　(2)利用多项式乘多项式的法则,说明(1)中的等式成立;
　(3)利用(1)中的等式化简:(x + y)(x² - xy + y²) - (x - y)(x² + xy + y²)。

答案： 解:
(1)a²−ab+b²
(2)(a+b)(a²−ab+b²)=a3²−a²b+ab²+a²b−ab²+b²=a3²+b3。
(3)(x+y)(x²−xy+y²)−(x−y)(x²+xy+y²)=x3²+y²−[x²+(−y)²]=x²+y²−(x²−y²)=2y²。

例1 计算：
(1)(a+3b)(a−3b)；
(2)(3+n)(−3+n)；
(3)(−2x2−y)(−2x2+y)；
(4)(−x+y)(−x−y)
思路分析：

解：(1)原式=a2−(3b)2=a2−9b2；
(2)原式=n2−32=n2−9；
(3)原式=(−2x2)2−y2=4x4−y2；
(4)原式=(−x)2−y2=x2−y2
解题策略
1. 用平方差公式运算的关键是熟悉公式的结构特征，找出公式中的“a”和“b”。
2. 当算式不是$(a + b)(a - b)$的形式时：①可通过确定算式中的相同项和互为相反数的项，直接进行计算；②可考虑用加法的交换律调整项的位置，使之变形为$(a + b)(a - b)$的形式，再计算，如第(2)小题中$(3 + n)( - 3 + n)=(n + 3)(n - 3)=n^2 - 3^2 = n^2 - 9$。

答案：